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10 EJERCICIOS DE DERIVACIÓN LOGARÍTMICA DESDE 0

Aprende derivación logarítmica con diez ejercicios resueltos paso a paso.

Potencias variables, productos, cocientes, raíces, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Clase de Matemáticas con Juan · 3 de noviembre de 2026

¿Qué es la derivación logarítmica?

La derivación logarítmica es una técnica que permite calcular derivadas de funciones que, mediante las reglas habituales, podrían resultar bastante complicadas.

Resulta especialmente útil cuando tenemos potencias con exponentes variables, productos de numerosos factores, cocientes y raíces.

La idea consiste en tomar logaritmos, aprovechar sus propiedades, derivar implícitamente y despejar la derivada buscada.

La técnica en cuatro pasos

Partimos de una función: \[ y=f(x),\qquad y\ne 0. \]
Tomamos logaritmos: \[ \ln|y|=\ln|f(x)|. \]
Derivamos implícitamente: \[ \frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\ln|f(x)|. \]
Multiplicamos por \(y\) y simplificamos.

Importante: trabajaremos con valores reales de \(x\) para los que las funciones estén definidas y sean derivables. El uso de \(\ln|y|\) exige \(y\ne0\). Cuando una función se anula en un punto donde es derivable, podemos obtener su derivada extendiendo la expresión simplificada o derivando directamente.

En las potencias de base variable consideramos bases positivas, salvo indicación en contrario.

Los 10 ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Una potencia de base y exponente variables

\[ y=x^x,\qquad x>0 \]

Tomamos logaritmos y bajamos el exponente:

\[ \ln y=x\ln x \]

Derivamos aplicando la regla del producto:

\[ \frac{y'}{y} = \ln x+x\frac{1}{x} \] \[ \frac{y'}{y}=\ln x+1 \]

Multiplicamos por la función original:

\[ \boxed{y'=x^x(\ln x+1)} \]

Ejercicio 2. Una potencia con exponente trigonométrico

\[ y=x^{\sin x},\qquad x>0 \]

Tomamos logaritmos:

\[ \ln y=\sin x\ln x \]

Aplicamos la regla del producto:

\[ \frac{y'}{y} = \cos x\ln x+\frac{\sin x}{x} \]

Multiplicamos por la función original:

\[ \boxed{ y'=x^{\sin x} \left( \cos x\ln x+\frac{\sin x}{x} \right) } \]

Ejercicio 3. Derivación logarítmica de un cociente

\[ y=\frac{x^3}{(x+1)^2},\qquad x\ne-1 \]

Para \(x\ne0,-1\), tomamos logaritmos de valores absolutos:

\[ \ln|y|=3\ln|x|-2\ln|x+1| \]

Derivamos término a término:

\[ \frac{y'}{y}=\frac{3}{x}-\frac{2}{x+1} \]

Reducimos a común denominador:

\[ \frac{y'}{y} = \frac{3(x+1)-2x}{x(x+1)} = \frac{x+3}{x(x+1)} \]

Multiplicamos por la función:

\[ y'= \frac{x^3}{(x+1)^2} \cdot \frac{x+3}{x(x+1)} \]

\[ \boxed{ y'=\frac{x^2(x+3)}{(x+1)^3} } \]

En \(x=0\) no podíamos tomar \(\ln|y|\). Sin embargo, la expresión simplificada permite obtener \(y'(0)=0\).

Ejercicio 4. Producto de tres factores

\[ y=x^2(x+1)^3(x+3)^4 \]

Cuando los factores no son nulos, los logaritmos transforman el producto en una suma:

\[ \ln|y|= 2\ln|x|+ 3\ln|x+1|+ 4\ln|x+3| \]

Derivamos:

\[ \frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x+3} \]

Multiplicamos por la función original:

\[ \boxed{ \begin{aligned} y'={}&x^2(x+1)^3(x+3)^4\\ &\cdot\left( \frac{2}{x} +\frac{3}{x+1} +\frac{4}{x+3} \right) \end{aligned} } \]

Esta expresión se utiliza para \(x\ne0,-1,-3\). En los tres puntos excluidos, la derivada existe y vale cero. Se puede comprobar por continuidad o derivando directamente el producto.

Ejercicio 5. Potencia trigonométrica

\[ y=(\tan x)^{\cos x}, \qquad \tan x>0 \]

Tomamos logaritmos:

\[ \ln y=\cos x\ln(\tan x) \]

Derivamos usando la regla del producto y la regla de la cadena:

\[ \frac{y'}{y} = -\sin x\ln(\tan x) + \cos x\frac{1}{\tan x\cos^2x} \]

Utilizamos la identidad:

\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \]

Por tanto:

\[ \frac{\cos x}{\tan x\cos^2x} = \frac{1}{\sin x} \]

Multiplicamos por la función original:

\[ \boxed{ y'=(\tan x)^{\cos x} \left( \frac{1}{\sin x} -\sin x\ln(\tan x) \right) } \]

Ejercicio 6. Logaritmos y exponenciales

\[ y=\frac{x^2\ln x}{e^x}, \qquad x>0 \]

Para \(x\ne1\), donde la función no se anula, tomamos logaritmos:

\[ \ln|y| = 2\ln x+\ln|\ln x|-x \]

Derivamos:

\[ \frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x\ln x} -1 \]

Multiplicamos por la función:

\[ y'= \frac{x^2\ln x}{e^x} \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{x\ln x} -1 \right) \]

Distribuimos para obtener una expresión válida también en \(x=1\):

\[ \boxed{ y'= \frac{2x\ln x+x-x^2\ln x}{e^x} } \]

En particular: \[ \boxed{y'(1)=\frac{1}{e}} \]

Ejercicio 7. Exponencial dividida por coseno

\[ y=\frac{e^x}{\cos x}, \qquad \cos x\ne0 \]

La función nunca se anula en su dominio. Tomamos logaritmos de valores absolutos:

\[ \ln|y|=x-\ln|\cos x| \]

Recordamos que:

\[ \frac{d}{dx}\ln|\cos x|=-\tan x \]

Derivamos:

\[ \frac{y'}{y}=1+\tan x \]

Multiplicamos por la función:

\[ \boxed{ y'=\frac{e^x}{\cos x}(1+\tan x) } \]

Ejercicio 8. Producto con una raíz cuadrada

\[ y=x^2\sqrt{x+1}\cos x, \qquad x>-1 \]

En los puntos donde \(x\ne0\) y \(\cos x\ne0\), tomamos logaritmos:

\[ \ln|y|= 2\ln|x| +\frac12\ln(x+1) +\ln|\cos x| \]

Derivamos:

\[ \frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{2(x+1)} -\tan x \]

Multiplicamos por la función original:

\[ \begin{aligned} y'={}&x^2\sqrt{x+1}\cos x\\ &\cdot\left( \frac2x+\frac{1}{2(x+1)}-\tan x \right) \end{aligned} \]

Para incluir también los puntos donde \(x=0\) o \(\cos x=0\), desarrollamos la expresión sin dividir por \(y\):

\[ \boxed{ \begin{aligned} y'={}&2x\sqrt{x+1}\cos x\\ &+\frac{x^2\cos x}{2\sqrt{x+1}}\\ &-x^2\sqrt{x+1}\sin x \end{aligned} } \]

La expresión desarrollada es válida para todo \(x>-1\).

Ejercicio 9. Cociente con logaritmo y seno

\[ y=\frac{x\ln x}{\sin x}, \qquad x>0,\quad \sin x\ne0 \]

Para \(x\ne1\), aplicamos las propiedades de los logaritmos del producto y del cociente:

\[ \ln|y| = \ln x+\ln|\ln x|-\ln|\sin x| \]

Derivamos:

\[ \frac{y'}{y} = \frac1x+ \frac{1}{x\ln x} - \frac{\cos x}{\sin x} \]

Reconocemos la cotangente:

\[ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \]

\[ \frac{y'}{y} = \frac1x+ \frac{1}{x\ln x} -\cot x \]

Multiplicamos por la función original:

\[ \boxed{ y'= \frac{x\ln x}{\sin x} \left( \frac1x+ \frac{1}{x\ln x} -\cot x \right) } \]

La función también es derivable en \(x=1\). Una forma equivalente que permite calcular la derivada en ese punto es: \[ \boxed{ y'= \frac{ (\ln x+1)\sin x -x\ln x\cos x }{ \sin^2x } } \]

Ejercicio 10. Cociente con raíz cúbica

\[ y= \frac{(x+1)^3\sqrt[3]{x^3+1}}{x^2}, \qquad x\ne0 \]

Para \(x\ne-1,0\), la función no se anula. Tomamos logaritmos:

\[ \ln|y|= 3\ln|x+1| + \frac13\ln|x^3+1| - 2\ln|x| \]

Derivamos término a término:

\[ \frac{y'}{y} = \frac3{x+1} + \frac{x^2}{x^3+1} - \frac2x \]

Multiplicamos por la función original:

\[ \boxed{ \begin{aligned} y'={}& \frac{(x+1)^3\sqrt[3]{x^3+1}}{x^2}\\ &\cdot\left( \frac3{x+1} + \frac{x^2}{x^3+1} - \frac2x \right) \end{aligned} } \]

Atención al punto \(x=-1\).

La función original sí es derivable en ese punto, a pesar de que la raíz cúbica considerada por separado tiene una derivada infinita.

Sabemos que:

\[ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) \]

Cerca de \(x=-1\), la función se comporta como una constante multiplicada por \(|x+1|^{10/3}\), con un posible signo. Por tanto:

\[ \boxed{y'(-1)=0} \]

Vídeo completo de derivación logarítmica

Puedes seguir las explicaciones de los diez ejercicios en el directo de Matemáticas con Juan.

PDF completo: 10 ejercicios de derivación logarítmica

A continuación puedes consultar el documento original con todos los ejercicios y sus resoluciones paso a paso. También puedes abrirlo en Google Drive.

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