Significado de derivar. 5 ejercicios

5 Ejercicios Resueltos: ¿Qué significa derivar?

Ejercicio 1: Interpretación física de la derivada

Planteamiento: La posición de un coche viene dada por \( s(t) = t^2 \) metros, donde \( t \) es el tiempo en segundos. ¿Cuál es su velocidad en el instante \( t=4 \)?

Solución: La velocidad es la derivada de la posición: \[ v(t) = s'(t). \] Derivemos: \[ s(t) = t^2 \Rightarrow s'(t) = 2t. \] Evaluamos en \( t=4 \): \[ v(4) = 2(4) = 8. \]

Interpretación: En el instante \( t=4 \) segundos, el coche va a \( 8\, \text{m/s} \).

Resultado: \(\boxed{8\, \text{m/s}}\).

Ejercicio 2: Pendiente de una curva en un punto

Planteamiento: Determina la pendiente de la curva \( y = x^2 \) en el punto \( x=1 \).

Solución: La pendiente es la derivada: \[ y' = 2x. \] Evaluamos: \[ y'(1) = 2(1) = 2. \]

Interpretación: La pendiente de la tangente a la curva en \( x=1 \) es 2.

Resultado: \(\boxed{2}\).

Ejercicio 3: La derivada nos dice si la función sube o baja

Planteamiento: Estudia si la función \( f(x) = -x^2 + 4x \) sube o baja en \( x=1 \) y en \( x=3 \).

Solución: Derivamos: \[ f'(x) = -2x + 4. \] En \( x=1 \): \[ f'(1) = -2(1) + 4 = 2 > 0 \Rightarrow \text{sigue subiendo}. \] En \( x=3 \): \[ f'(3) = -2(3) + 4 = -2 < 0 \Rightarrow \text{está bajando}. \]

Interpretación: La derivada nos indica si la función crece o decrece.

Ejercicio 4: La derivada como tasa de cambio

Planteamiento: Una bacteria tiene un tamaño que crece según \( S(t) = 3t^2 \) micrómetros, siendo \( t \) el tiempo en horas. ¿A qué ritmo está creciendo en \( t=5 \) horas?

Solución: El ritmo de crecimiento es la derivada: \[ S'(t) = 6t. \] En \( t=5 \): \[ S'(5) = 6(5) = 30. \]

Interpretación: En el momento \( t=5 \) horas, la bacteria está creciendo a razón de \( 30 \, \mu m/\text{hora} \).

Resultado: \(\boxed{30\, \mu m/\text{hora}}\).

Ejercicio 5: Significado geométrico de la derivada cero

Planteamiento: La función \( f(x) = -x^2 + 4x \) tiene su derivada nula en cierto punto. ¿Qué significa eso?

Solución: Derivamos: \[ f'(x) = -2x + 4. \] Igualamos a cero: \[ -2x + 4 = 0 \Rightarrow x=2. \] Evaluamos: \[ f(2) = -4 +8=4. \]

Interpretación: La recta tangente en \( x=2 \) es horizontal. Como la derivada cambia de positiva a negativa, es un máximo.

Resultado: La derivada nula en \( x=2 \) indica que allí está el máximo de la función.