Dominando la Regla del Cociente: 5 Ejercicios Resueltos
Fórmula Fundamental
\[
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]
Recuerda: El orden es importante (Derivada del numerador primero)
Ejercicio 1: \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 3} \)
Paso 1: Identificar componentes
- \( u = x^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad u' = 2x \)
- \( v = x + 3 \quad \Rightarrow \quad v' = 1 \)
Paso 2: Aplicar la fórmula
\[
f'(x) = \frac{(2x)(x + 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x + 3)^2}
\]
Paso 3: Simplificar
\[
= \frac{2x^2 + 6x - x^2 - 1}{(x + 3)^2} = \frac{x^2 + 6x - 1}{(x + 3)^2}
\]
Solución Final:
\[
f'(x) = \frac{x^2 + 6x - 1}{(x + 3)^2}
\]
Ejercicio 2: \( f(x) = \frac{\sin x}{x^2} \)
Componentes:
- \( u = \sin x \quad \Rightarrow \quad u' = \cos x \)
- \( v = x^2 \quad \Rightarrow \quad v' = 2x \)
Aplicación de la regla:
\[
f'(x) = \frac{\cos x \cdot x^2 - \sin x \cdot 2x}{(x^2)^2}
\]
Solución Simplificada:
\[
f'(x) = \frac{x^2 \cos x - 2x \sin x}{x^4} = \frac{x \cos x - 2 \sin x}{x^3}
\]
Ejercicio 3: \( f(x) = \frac{e^x}{x^3 + 1} \)
Derivadas componentes:
- \( u' = e^x \) (la derivada de \( e^x \) es sí misma)
- \( v' = 3x^2 \)
Aplicación de la fórmula:
\[
f'(x) = \frac{e^x(x^3 + 1) - e^x(3x^2)}{(x^3 + 1)^2} = \frac{e^x(x^3 + 1 - 3x^2)}{(x^3 + 1)^2}
\]
Observación: Se puede factorizar \( e^x \) en el numerador
Ejercicio 4: \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \)
Paso a paso:
\[
f'(x) = \frac{(\frac{1}{x})x - \ln x(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}
\]
Resultado:
\[
f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}
\]
Ejercicio 5: \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \)
Reescribir para claridad:
\[
f(x) = x(x + 1)^{-1/2}
\]
Aplicar regla del cociente:
\[
f'(x) = \frac{(1)(\sqrt{x + 1}) - x(\frac{1}{2}(x + 1)^{-1/2})}{x + 1}
\]
Simplificación final:
\[
= \frac{\sqrt{x + 1} - \frac{x}{2\sqrt{x + 1}}}{x + 1} = \frac{x + 2}{2(x + 1)^{3/2}}
\]
Conclusión y Recomendaciones
- ✅ Siempre verifica la simplificación de resultados
- 📝 Practica con diferentes tipos de funciones (trigonométricas, exponenciales, logarítmicas)
- ⚠️ Cuidado con los signos en el numerador
- 🔍 Considera métodos alternativos (regla del producto + potencia) para verificar resultados
\[
\text{¡La práctica constante es clave para el dominio!}
\]
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