Integración por Partes. Cálculo de 5 integrales.

📚 Método de Integración por Partes

Esta técnica se deriva de la regla del producto para derivadas y es particularmente útil para integrales que involucran productos de funciones. La fórmula fundamental es:

\[ \int u\,dv = uv - \int v\,du + C \]

🔍 Estrategia para elegir \(u\) y \(dv\)

Sigue la regla LIATE (Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales) para seleccionar \(u\) en orden de prioridad:

• \(du\) debe ser más simple que \(u\)
• \(dv\) debe ser fácilmente integrable

🚀 Pasos de aplicación

1. Identificar partes de la integral usando LIATE
2. Derivar \(u\) para obtener \(du\)
3. Integrar \(dv\) para obtener \(v\)
4. Aplicar la fórmula y simplificar
5. Resolver la nueva integral si es necesario

1. \(\int x e^{x}\,dx\)

Paso 1: Elección de componentes

• \(u = x\)   ⇒   \(du = dx\) (Función algebraica)
• \(dv = e^{x}dx\) ⇒ \(v = e^{x}\) (Función exponencial)

Paso 2: Aplicación de la fórmula

\[ \int x e^{x}dx = x e^{x} - \int e^{x}dx \]

Paso 3: Resolución final

\[ = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x - 1) + C \]

2. \(\int x \sin x\,dx\)

Componentes:

• \(u = x\) ⇒ \(du = dx\)
• \(dv = \sin x\,dx\) ⇒ \(v = -\cos x\)

Desarrollo:

\[ \begin{align*} \int x \sin x\,dx &= -x \cos x + \int \cos x\,dx \\ &= -x \cos x + \sin x + C \end{align*} \]

Nota: Se requirió segunda integración directa para \(\int \cos x\,dx\)

3. \(\int \ln x\,dx\)

Truco inicial: Reescribir la integral

\[ \int 1 \cdot \ln x\,dx \]

Componentes:

• \(u = \ln x\) ⇒ \(du = \frac{1}{x}dx\)
• \(dv = dx\) ⇒ \(v = x\)

Resolución:

\[ x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}dx = x \ln x - x + C \]

4. \(\int x \ln x\,dx\)

Elección estratégica:

• \(u = \ln x\) ⇒ \(du = \frac{1}{x}dx\)
• \(dv = x\,dx\) ⇒ \(v = \frac{x^{2}}{2}\)

Proceso:

\[ \begin{align*} \int x \ln x\,dx &= \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x}dx \\ &= \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x\,dx \\ &= \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C \end{align*} \]

5. \(\int \arctan x\,dx\)

Preparación: Reescribir con \(1\cdot \arctan x\,dx\)

Componentes:

• \(u = \arctan x\) ⇒ \(du = \frac{1}{1+x^{2}}dx\)
• \(dv = dx\) ⇒ \(v = x\)

Desarrollo:

\[ x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^{2}}dx \]

Sustitución: \(t = 1+x^{2}\) ⇒ \(dt = 2x\,dx\)

\[ \int \frac{x}{1+x^{2}}dx = \frac{1}{2} \ln|1+x^{2}| + C \]

Solución final:

\[ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) + C \]

💡 Consejos clave

• La práctica mejora la identificación de \(u\) y \(dv\)
• A veces se requiere aplicar el método múltiples veces
• Combina con otros métodos (sustitución, fracciones parciales)
• ¡No olvides la constante de integración \(C\)!