Resolución de Sistema 4x4 Mediante Método de Gauss Jordan

el
Gauss-Jordan: Sistema de 4 Ecuaciones y 4 Incógnitas

Resolución de un Sistema de 4 Ecuaciones por Gauss-Jordan

Enunciado del Problema

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss-Jordan:

  • \( x + 2y - z + w = 4 \)
  • \( 2x - y + 3z - w = 10 \)
  • \( -x + y + 2z + 3w = 6 \)
  • \( 3x + 4y - 2z + 2w = 7 \)

Objetivo: Hallar \(x\), \(y\), \(z\) y \(w\) transformando la matriz aumentada a su forma reducida.

Desarrollo y Resolución

Paso 1: Escribir la Matriz Aumentada Inicial

El sistema se representa de la siguiente forma: \[ \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 3 & -1 & 10 \\ -1 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ 3 & 4 & -2 & 2 & 7 \end{array}\right] \]

Paso 2: Eliminar la variable \(x\) de las filas 2, 3 y 4.

  • \( R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1 \): \[ (2-2\cdot1,\; -1-2\cdot2,\; 3-2(-1),\; -1-2\cdot1,\; 10-2\cdot4) = (0,\; -5,\; 5,\; -3,\; 2). \]
  • \( R_3 \rightarrow R_3 + R_1 \): \[ (-1+1,\; 1+2,\; 2+(-1),\; 3+1,\; 6+4) = (0,\; 3,\; 1,\; 4,\; 10). \]
  • \( R_4 \rightarrow R_4 - 3R_1 \): \[ (3-3\cdot1,\; 4-3\cdot2,\; -2-3(-1),\; 2-3\cdot1,\; 7-3\cdot4) = (0,\; -2,\; 1,\; -1,\; -5). \]

La matriz queda así:

\[ \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & 5 & -3 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 4 & 10 \\ 0 & -2 & 1 & -1 & -5 \end{array}\right] \]

Paso 3: Normalizar la fila 2 y eliminar la variable \(y\).

  • Normalizamos \( R_2 \) dividiendo entre \(-5\): \[ R_2 \rightarrow \frac{1}{-5} R_2: \quad (0,\; 1,\; -1,\; \tfrac{3}{5},\; -\tfrac{2}{5}). \]
  • Actualizamos \( R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2 \): \[ R_1: (1,\,2-2,\; -1-2(-1),\; 1-2\cdot\frac{3}{5},\; 4-2(-\tfrac{2}{5})) = (1,\,0,\; 1,\; 1-\tfrac{6}{5},\; 4+\tfrac{4}{5}). \] Simplificando: \[ 1-\tfrac{6}{5} = -\tfrac{1}{5}\quad \text{y}\quad 4+\tfrac{4}{5} = \tfrac{24}{5}. \] Así \( R_1 = (1,\,0,\; 1,\; -\tfrac{1}{5},\; \tfrac{24}{5}) \).
  • Actualizamos \( R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2 \): \[ R_3: (0,\,3-3,\; 1-3(-1),\; 4-3\cdot\frac{3}{5},\; 10-3(-\tfrac{2}{5})) = (0,\,0,\; 4,\; 4-\tfrac{9}{5},\; 10+\tfrac{6}{5}). \] Simplificando: \[ 4-\tfrac{9}{5} = \tfrac{11}{5},\quad 10+\tfrac{6}{5} = \tfrac{56}{5}. \] Así \( R_3 = (0,\,0,\; 4,\; \tfrac{11}{5},\; \tfrac{56}{5}) \).
  • Actualizamos \( R_4 \rightarrow R_4 + 2R_2 \): \[ R_4: (0,\,-2+2,\; 1+2(-1),\; -1+2\cdot\frac{3}{5},\; -5+2(-\tfrac{2}{5})) = (0,\,0,\; -1,\; -1+\tfrac{6}{5},\; -5-\tfrac{4}{5}). \] Simplificando: \[ -1+\tfrac{6}{5} = \tfrac{1}{5},\quad -5-\tfrac{4}{5} = -\tfrac{29}{5}. \] Así \( R_4 = (0,\,0,\; -1,\; \tfrac{1}{5},\; -\tfrac{29}{5}) \).

La matriz actual es:

\[ \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{24}{5} \\ 0 & 1 & -1 & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{2}{5} \\ 0 & 0 & 4 & \tfrac{11}{5} & \tfrac{56}{5} \\ 0 & 0 & -1 & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{29}{5} \end{array}\right] \]

Paso 4: Normalizar la fila 3 y eliminar la variable \(z\).

  • Normalizamos \( R_3 \) dividiendo entre 4: \[ R_3 \rightarrow \frac{1}{4} R_3: \quad (0,\,0,\,1,\, \tfrac{11}{20},\, \tfrac{14}{5}). \]
  • Actualizamos \( R_1 \rightarrow R_1 - R_3 \): \[ R_1: \; (1,\,0,\; 1-1,\; -\tfrac{1}{5} - \tfrac{11}{20},\; \tfrac{24}{5} - \tfrac{14}{5}) = (1,\,0,\; 0,\; -\tfrac{15}{20},\, \tfrac{10}{5}). \] Simplificando: \[ -\tfrac{15}{20} = -\tfrac{3}{4},\quad \tfrac{10}{5}= 2. \] Así \( R_1 = (1,\,0,\;0,\; -\tfrac{3}{4},\, 2) \).
  • Actualizamos \( R_2 \rightarrow R_2 + R_3 \): \[ R_2: \; (0,\,1,\; -1+1,\; \tfrac{3}{5} + \tfrac{11}{20},\; -\tfrac{2}{5} + \tfrac{14}{5}) = (0,\,1,\,0,\; \tfrac{23}{20},\, \tfrac{12}{5}). \]
  • Actualizamos \( R_4 \rightarrow R_4 + R_3 \): \[ R_4: \; (0,\,0,\; -1+1,\; \tfrac{1}{5} + \tfrac{11}{20},\; -\tfrac{29}{5} + \tfrac{14}{5}) = (0,\,0,\; 0,\; \tfrac{15}{20},\, -\tfrac{15}{5}). \] Simplificando: \[ \tfrac{15}{20}= \tfrac{3}{4},\quad -\tfrac{15}{5} = -3. \] Así \( R_4 = (0,\,0,\;0,\; \tfrac{3}{4},\, -3). \]

La matriz es ahora:

\[ \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{3}{4} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{23}{20} & \tfrac{12}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{20} & \tfrac{14}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{3}{4} & -3 \end{array}\right] \]

Paso 5: Normalizar la fila 4 y eliminar la variable \(w\).

  • Normalizamos \( R_4 \) dividiendo entre \(\tfrac{3}{4}\): \[ R_4 \rightarrow \frac{4}{3}R_4: \quad (0,\,0,\,0,\,1,\, -3\cdot \tfrac{4}{3} = -4). \]
  • Actualizamos las otras filas para eliminar \(w\):
    • \( R_1 \rightarrow R_1 + \tfrac{3}{4}R_4 \): \[ R_1: \; (1,\,0,\;0,\; -\tfrac{3}{4} + \tfrac{3}{4},\; 2 + \tfrac{3}{4}(-4)) = (1,\,0,\,0,\,0,\,2-3) = (1,0,0,0,-1). \]
    • \( R_2 \rightarrow R_2 - \tfrac{23}{20}R_4 \): \[ R_2: \; (0,\,1,\,0,\; \tfrac{23}{20} - \tfrac{23}{20},\; \tfrac{12}{5} - \tfrac{23}{20}(-4)) . \] Convertimos \(\tfrac{12}{5}= \tfrac{48}{20}\). Luego: \[ \tfrac{48}{20} + \tfrac{92}{20} = \tfrac{140}{20} = 7. \] Así \( R_2 = (0,1,0,0,7) \).
    • \( R_3 \rightarrow R_3 - \tfrac{11}{20}R_4 \): \[ R_3: \; (0,\,0,\,1,\; \tfrac{11}{20} - \tfrac{11}{20},\; \tfrac{14}{5} - \tfrac{11}{20}(-4)). \] Convertimos \(\tfrac{14}{5}= \tfrac{56}{20}\). Luego: \[ \tfrac{56}{20} + \tfrac{44}{20} = \tfrac{100}{20} = 5. \] Así \( R_3 = (0,0,1,0,5) \).

La matriz aumentada reducida es:

\[ \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \end{array}\right] \]

Solución Final:

  • \(x = -1\)
  • \(y = 7\)
  • \(z = 5\)
  • \(w = -4\)
Resumen del Proceso
Paso Operación Resultado (Fila relevante)
Inicio Matriz Inicial \(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 4\\[4mm] 2 & -1 & 3 & -1 & 10\\[4mm] -1 & 1 & 2 & 3 & 6\\[4mm] 3 & 4 & -2 & 2 & 7 \end{array}\)
1 Eliminar \(x\) de \(R_2, R_3\) y \(R_4\) \(R_2: (0, -5, 5, -3, 2)\)
\(R_3: (0, 3, 1, 4, 10)\)
\(R_4: (0, -2, 1, -1, -5)\)
2 Normalizar \(R_2\) y eliminar \(y\) de \(R_1, R_3, R_4\) \(R_2: (0,1,-1,\tfrac{3}{5}, -\tfrac{2}{5})\)
\(R_1: (1,0,1,-\tfrac{1}{5}, \tfrac{24}{5})\)
\(R_3: (0,0,4,\tfrac{11}{5}, \tfrac{56}{5})\)
\(R_4: (0,0,-1,\tfrac{1}{5}, -\tfrac{29}{5})\)
3 Normalizar \(R_3\) y eliminar \(z\) de \(R_1, R_2, R_4\) \(R_3: (0,0,1,\tfrac{11}{20}, \tfrac{14}{5})\)
\(R_1: (1,0,0,-\tfrac{3}{4}, 2)\)
\(R_2: (0,1,0,\tfrac{23}{20}, \tfrac{12}{5})\)
\(R_4: (0,0,0,\tfrac{3}{4}, -3)\)
4 Normalizar \(R_4\) y eliminar \(w\) de \(R_1,R_2,R_3\) \(R_4: (0,0,0,1,-4)\)
\(R_1: (1,0,0,0,-1)\)
\(R_2: (0,1,0,0,7)\)
\(R_3: (0,0,1,0,5)\)

Resultado Final: \(\boxed{x=-1,\; y=7,\; z=5,\; w=-4}\)

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