Derivadas elementales. 10 ejercicios.

Ejercicios Resueltos de Derivadas Elementales

📚 Nota importante: Cada ejercicio incluye una explicación detallada paso a paso. Las reglas utilizadas se destacan en verde para facilitar su identificación.

Ejercicio 1: Polinomio básico

\[ f(x) = x^5 - 3x^2 + 7 \]

Paso 1: Identificar términos

Tenemos tres términos en el polinomio:

• Término 1: \( x^5 \)
• Término 2: \( -3x^2 \)
• Término 3: \( 7 \)

Paso 2: Aplicar Regla de la Potencia

Recordemos que \( \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \):

• \( \frac{d}{dx}x^5 = 5x^{4} \)
• \( \frac{d}{dx}(-3x^2) = -3 \cdot 2x^{1} = -6x \)
• \( \frac{d}{dx}7 = 0 \) (derivada de constante)

Resultado final: \[ f'(x) = 5x^4 - 6x \]

Ejercicio 2: Función radical

\[ g(x) = \sqrt{x^3} \]

Paso 1: Reescribir en forma exponencial

Convertimos la raíz cuadrada a exponente fraccionario: \[ g(x) = (x^3)^{1/2} = x^{3/2} \]

Paso 2: Aplicar Regla de la Potencia

Derivamos usando \( \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \): \[ \frac{d}{dx}x^{3/2} = \frac{3}{2}x^{1/2} \]

Resultado final: \[ g'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} \]

Ejercicio 3: Producto de funciones

\[ h(x) = x^2 \cdot \sin x \]

Paso 1: Identificar componentes

Reconocemos las funciones:

• \( u(x) = x^2 \)
• \( v(x) = \sin x \)

Paso 2: Aplicar Regla del Producto

Fórmula: \( (uv)' = u'v + uv' \)

• \( u' = 2x \)
• \( v' = \cos x \)

Sustituimos: \[ \begin{aligned} h'(x) &= (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x) \\ &= 2x\sin x + x^2\cos x \end{aligned} \]

Resultado final: \[ h'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x \]

Ejercicio 4: Cociente de funciones

\[ p(x) = \frac{3x + 1}{x^2} \]

Paso 1: Identificar componentes

Reconocemos:

• Numerador: \( 3x + 1 \)
• Denominador: \( x^2 \)

Paso 2: Aplicar Regla del Cociente

Fórmula: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

• \( u = 3x + 1 \Rightarrow u' = 3 \)
• \( v = x^2 \Rightarrow v' = 2x \)

Sustituimos: \[ \begin{aligned} p'(x) &= \frac{(3)(x^2) - (3x + 1)(2x)}{(x^2)^2} \\ &= \frac{3x^2 - 6x^2 - 2x}{x^4} \\ &= \frac{-3x^2 - 2x}{x^4} \\ &= -\frac{3x + 2}{x^3} \end{aligned} \]

Resultado final: \[ p'(x) = -\frac{3x + 2}{x^3} \]

Ejercicio 5: Función exponencial

\[ q(x) = e^{2x} \]

Paso 1: Identificar función compuesta

Reconocemos:

• Función externa: \( e^u \)
• Función interna: \( u = 2x \)

Paso 2: Aplicar Regla de la Cadena

Derivamos:

• \( \frac{d}{du}e^u = e^u \)
• \( \frac{du}{dx} = 2 \)

\[ \frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} \]

Resultado final: \[ q'(x) = 2e^{2x} \]

Ejercicio 6: Logaritmo natural

\[ r(x) = \ln(5x^2 + 3) \]

Paso 1: Identificar composición

Reconocemos:

• Función externa: \( \ln(u) \)
• Función interna: \( u = 5x^2 + 3 \)

Paso 2: Aplicar Regla de la Cadena

Derivamos:

• \( \frac{d}{du}\ln(u) = \frac{1}{u} \)
• \( \frac{du}{dx} = 10x \)

\[ r'(x) = \frac{1}{5x^2 + 3} \cdot 10x = \frac{10x}{5x^2 + 3} \]

Resultado final: \[ r'(x) = \frac{10x}{5x^2 + 3} \]

Ejercicio 7: Función trigonométrica

\[ s(x) = \tan(3x) \]

Paso 1: Identificar composición

Reconocemos:

• Función externa: \( \tan(u) \)
• Función interna: \( u = 3x \)

Paso 2: Aplicar Regla de la Cadena

Derivamos:

• \( \frac{d}{du}\tan(u) = \sec^2(u) \)
• \( \frac{du}{dx} = 3 \)

\[ s'(x) = \sec^2(3x) \cdot 3 = 3\sec^2(3x) \]

Resultado final: \[ s'(x) = 3\sec^2(3x) \]

Ejercicio 8: Potencia de polinomio

\[ t(x) = (x^2 + 1)^4 \]

Paso 1: Identificar composición

Reconocemos:

• Función externa: \( u^4 \)
• Función interna: \( u = x^2 + 1 \)

Paso 2: Aplicar Regla de la Cadena

Derivamos:

• \( \frac{d}{du}u^4 = 4u^3 \)
• \( \frac{du}{dx} = 2x \)

\[ t'(x) = 4(x^2 + 1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2 + 1)^3 \]

Resultado final: \[ t'(x) = 8x(x^2 + 1)^3 \]

Ejercicio 9: Cociente trigonométrico

\[ u(x) = \frac{\sin x}{x} \]

Paso 1: Identificar componentes

Reconocemos:

• Numerador: \( \sin x \)
• Denominador: \( x \)

Paso 2: Aplicar Regla del Cociente

Fórmula: \( \left(\frac{U}{V}\right)' = \frac{U'V - UV'}{V^2} \)

• \( U = \sin x \Rightarrow U' = \cos x \)
• \( V = x \Rightarrow V' = 1 \)

\[ \begin{aligned} u'(x) &= \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} \end{aligned} \]

Resultado final: \[ u'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} \]

Ejercicio 10: Función arco tangente

\[ v(x) = \arctan(2x) \]

Paso 1: Identificar composición

Reconocemos:

• Función externa: \( \arctan(u) \)
• Función interna: \( u = 2x \)

Paso 2: Aplicar Regla de la Cadena

Derivamos:

• \( \frac{d}{du}\arctan(u) = \frac{1}{1 + u^2} \)
• \( \frac{du}{dx} = 2 \)

\[ v'(x) = \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2} \]

Resultado final: \[ v'(x) = \frac{2}{1 + 4x^2} \]

🔍 Consejos para resolver derivadas

• Identifica siempre el tipo de función (polinomio, racional, compuesta)
• Selecciona la regla adecuada (potencia, producto, cociente, cadena)
• Verifica tus resultados derivando de otra forma si es posible
• Practica con diferentes combinaciones de funciones
• Revisa cuidadosamente las simplificaciones algebraicas