Razón de Cambio de un Rectángulo

Razón de cambio del área de un rectángulo

Enunciado del problema

El largo L de un rectángulo está aumentando a una velocidad de 3 cm por minuto, mientras que el ancho W está disminuyendo a una velocidad de 2 cm por minuto. ¿Cuál es la tasa de cambio del área del rectángulo en el instante en que L = 10 cm y W = 6 cm?

1. ¿Qué tipo de problema es?

Es un problema de razones de cambio relacionadas, donde el área depende de dos variables que cambian con el tiempo: el largo y el ancho.

2. Datos conocidos

• \(\displaystyle \frac{dL}{dt} = 3 \, \text{cm/min}\) (el largo crece)
• \(\displaystyle \frac{dW}{dt} = -2 \, \text{cm/min}\) (el ancho disminuye)
• \(L = 10 \, \text{cm}\)
• \(W = 6 \, \text{cm}\)
• Queremos encontrar \(\displaystyle \frac{dA}{dt}\), donde \(A\) es el área del rectángulo.

3. Relación entre las variables

El área de un rectángulo se calcula como:

\( A = L \times W \)

Derivamos ambos lados respecto al tiempo \(t\) usando la regla del producto:

\( \frac{dA}{dt} = L \frac{dW}{dt} + W \frac{dL}{dt} \)

4. Sustitución de valores

Sustituimos los valores que conocemos:

\( \frac{dA}{dt} = (10)(-2) + (6)(3) \)

Calculamos:

\( \frac{dA}{dt} = -20 + 18 = -2 \)

5. Interpretación del resultado

La tasa de cambio del área es de:

\( \boxed{-2\, \text{cm}^2/\text{min}} \)

El signo negativo indica que el área del rectángulo está disminuyendo en ese instante a una velocidad de \(2\, \text{cm}^2/\text{min}\).

6. Reflexión final

Aunque el largo está creciendo, como el ancho disminuye más rápido en proporción, el área total del rectángulo termina reduciéndose. Este tipo de problemas nos enseña que los efectos combinados pueden producir resultados contraintuitivos.