Razones de Cambio. Caso de un Círculo

Razón de cambio del área de un círculo

Enunciado del problema

El radio r de un círculo está creciendo a una velocidad constante de 4 cm por minuto. ¿A qué velocidad está cambiando el área del círculo cuando el radio es de 8 cm?

1. ¿Qué tipo de problema es este?

Este es un problema clásico de razones de cambio relacionadas, tema típico del cálculo diferencial. Queremos encontrar la razón de cambio de una cantidad (el área) en función de la razón de cambio de otra variable relacionada (el radio).

2. ¿Qué datos tenemos?

• La velocidad de cambio del radio es: \(\displaystyle \frac{dr}{dt} = 4 \, \text{cm/min}\)
• Queremos encontrar: \(\displaystyle \frac{dA}{dt}\) (la velocidad de cambio del área)
• En el momento en que \(r = 8 \, \text{cm}\)

3. Relación entre las variables

Sabemos que el área de un círculo se calcula con la fórmula:

\( A = \pi r^2 \)

Como el radio cambia con el tiempo, el área también lo hará. Derivamos ambos lados respecto al tiempo \(t\):

\( \frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} \)

4. Sustituimos los valores conocidos

Sustituimos \(r = 8\) y \(\displaystyle \frac{dr}{dt} = 4\):

\( \frac{dA}{dt} = 2\pi \cdot 8 \cdot 4 = 64\pi \)

5. Resultado final

Por lo tanto, la razón de cambio del área en ese instante es:

\( \boxed{\frac{dA}{dt} = 64\pi \, \text{cm}^2/\text{min}} \)

Si quieres un valor numérico aproximado:

\( \frac{dA}{dt} \approx 201{,}06 \, \text{cm}^2/\text{min} \)

6. Conclusión para los estudiantes

Este problema muestra cómo una variable (el área) puede cambiar porque otra variable relacionada (el radio) también cambia. A través de la derivación, conectamos las dos razones de cambio. Esta técnica es esencial en física, ingeniería y muchas otras áreas.