Definiciones Básicas
Máximo Local: Es un punto \( x = a \) tal que existe un intervalo abierto alrededor de \( a \) en el que para todo \( x \) en ese intervalo se cumple \( f(a) \ge f(x) \). Es decir, en una vecindad de \( a \) la función no toma valores mayores.
Mínimo Local: Es un punto \( x = a \) en el que existe un intervalo abierto alrededor de \( a \) en el que para todo \( x \) se cumple \( f(a) \le f(x) \). Esto significa que dentro de esa vecindad, \( f(a) \) es el valor más bajo, pero puede haber valores inferiores fuera de ella.
Mínimo Absoluto: Es el menor valor que alcanza la función en todo su dominio. Es decir, \( f(a) \) es mínimo absoluto si \( f(a) \le f(x) \) para todo \( x \) en el dominio de \( f \). En funciones continuas y convexas, como algunas cuadráticas, el mínimo local coincide con el mínimo absoluto.
Punto de Inflexión: Es un punto en la curva donde la concavidad cambia. Esto quiere decir que la función pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o viceversa). Se identifica normalmente cuando la segunda derivada cambia de signo.
Ejercicio 1: Función Cuadrática Convexa
Enunciado
Analiza la función \[ f(x) = x^2 - 4x + 3. \] Como es una función cuadrática con coeficiente positivo, es cóncava hacia arriba (convexa) y, por tanto, el único extremo es un mínimo. En funciones convexas, el mínimo local coincide con el mínimo absoluto en todo el dominio.
Solución
Paso 1: Calcular la derivada (para encontrar puntos críticos):
\( f'(x) = 2x - 4. \)
Paso 2: Hallar el punto crítico:
\( 2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2. \)
Paso 3: Calcular la segunda derivada (para confirmar el tipo de extremo):
\( f''(x) = 2. \)
Como \( f''(2) = 2 > 0 \), se confirma que \( x = 2 \) es un mínimo local. Dado que la función es convexa, este es también el mínimo absoluto.
Paso 4: Evaluar la función en el punto crítico:
\( f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. \)
Conclusión: La función tiene un mínimo local (y absoluto) en \( (2, -1) \).
Ejercicio 2: Función Cuadrática Invertida
Enunciado
Considera la función \[ f(x) = -x^2 + 2x + 3. \] Al ser una función cuadrática cóncava (coeficiente negativo) la función tiene un único extremo que es un máximo. Aquí se analiza el punto crítico y se clasifica mediante la segunda derivada.
Solución
Paso 1: Derivada de \( f(x) \):
\( f'(x) = -2x + 2. \)
Paso 2: Encontrar el punto crítico:
\( -2x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1. \)
Paso 3: Calcular la segunda derivada:
\( f''(x) = -2. \)
Como \( f''(1) = -2 < 0 \), se confirma que el punto crítico es un máximo local (y en este caso, al tratarse de una parábola cóncava, es el máximo absoluto en el dominio).
Paso 4: Evaluar \( f(x) \) en el punto crítico:
\( f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4. \)
Conclusión: La función presenta un máximo local (y absoluto) en \( (1, 4) \).
Ejercicio 3: Función Cúbica
Enunciado
Analiza la función \[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. \] Se requiere hallar los puntos críticos y clasificar cada uno como máximo local o mínimo local usando la segunda derivada. Además, se debe identificar el punto de inflexión, que es donde la función cambia de concavidad.
Solución
Paso 1: Calcular la derivada:
\( f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2). \)
Paso 2: Encontrar los puntos críticos:
Al resolver \( 3x(x - 2) = 0 \) se obtiene \( x = 0 \) y \( x = 2 \).
Paso 3: Calcular la segunda derivada para clasificar los extremos:
\( f''(x) = 6x - 6. \)
- Para \( x = 0 \): \( f''(0) = -6 \). Como \( f''(0) < 0 \), se trata de un máximo local.
- Para \( x = 2 \): \( f''(2) = 6 \). Al tener \( f''(2) > 0 \), se tiene un mínimo local.
Paso 4: Evaluar la función en los puntos críticos:
\( f(0) = 0 - 0 + 2 = 2 \) y \( f(2) = 8 - 12 + 2 = -2. \)
Paso 5: Hallar el punto de inflexión:
Se encuentra igualando la segunda derivada a cero: \( 6x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1. \)
En \( x = 1 \) se produce el cambio de concavidad, identificándose como punto de inflexión.
Conclusión: La función tiene un máximo local en \( (0, 2) \), un mínimo local en \( (2, -2) \) y un punto de inflexión en \( x = 1 \) (donde la concavidad cambia).
Ejercicio 4: Función de Grado 4
Enunciado
Considera la función \[ f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2, \] que puede factorizarse como \( f(x) = x^2(x-2)^2 \). Se requiere hallar los puntos críticos y clasificarlos usando la segunda derivada, y además identificar los puntos de inflexión en los que la concavidad de la función cambia.
Solución
Paso 1: Calcular la primera derivada:
\( f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x. \)
Factorizando se tiene: \( f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2). \)
Paso 2: Encontrar los puntos críticos:
Las raíces de \( f'(x) = 0 \) son \( x = 0 \), \( x = 1 \) y \( x = 2 \).
Paso 3: Calcular la segunda derivada para clasificar los extremos:
\( f''(x) = 12x^2 - 24x + 8. \)
- Para \( x = 0 \): \( f''(0) = 8 > 0 \) indica un mínimo local.
- Para \( x = 1 \): \( f''(1) = 12 - 24 + 8 = -4 < 0 \) indica un máximo local.
- Para \( x = 2 \): \( f''(2) = 48 - 48 + 8 = 8 > 0 \) muestra otro mínimo local.
Paso 4: Hallar los puntos de inflexión:
Se resuelve \( 12x^2 - 24x + 8 = 0 \). Dividiendo por 4 se obtiene: \( 3x^2 - 6x + 2 = 0. \) Aplicando la fórmula cuadrática:
\( x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}. \)
Conclusión: La función tiene puntos críticos en \( x = 0 \) (mínimo), \( x = 1 \) (máximo) y \( x = 2 \) (mínimo). Los puntos de inflexión se encuentran en \( x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \), donde se produce el cambio de concavidad.
Ejercicio 5: Función Trigonométrica
Enunciado
Estudia la función \[ f(x) = \sin(x) \] en el intervalo \( x \in [0, 2\pi] \). Se debe identificar los puntos críticos y clasificar el comportamiento de la función (máximo o mínimo local) mediante la segunda derivada, y además determinar el punto de inflexión donde la concavidad de la función cambia.
Solución
Paso 1: Calcular la derivada:
\( f'(x) = \cos(x). \)
Paso 2: Encontrar los puntos críticos:
Se resuelve \( \cos(x) = 0 \); se obtienen: \( x = \frac{\pi}{2} \) y \( x = \frac{3\pi}{2} \).
Paso 3: Calcular la segunda derivada para clasificar los puntos críticos:
\( f''(x) = -\sin(x). \)
- En \( x = \frac{\pi}{2} \): \( f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 < 0 \) se identifica un máximo local.
- En \( x = \frac{3\pi}{2} \): \( f''\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 1 > 0 \) se identifica un mínimo local.
Paso 4: Determinar el punto de inflexión:
Se resuelve \( -\sin(x) = 0 \), lo que ocurre cuando \( \sin(x)=0 \). Esto da \( x = 0, \pi, 2\pi \). Sin embargo, dentro del intervalo el cambio de concavidad interno se evidencia en \( x = \pi \).
Conclusión: La función tiene un máximo local en \( \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) \), un mínimo local en \( \left(\frac{3\pi}{2}, -1\right) \) y un punto de inflexión en \( x = \pi \) (punto donde la concavidad cambia).
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