ESTUDIO DE LÍMITES A TRAVÉS DE GRÁFICAS
Aprende límites de forma visual e intuitiva
Vídeo de esta clase aquí:
Presentación
En esta entrada vamos a estudiar los límites de funciones utilizando principalmente gráficas.
El objetivo es comprender visualmente qué significa un límite, cómo interpretar límites laterales, cuándo existe un límite y cómo distinguir entre el valor al que se aproxima una función y el valor real de la función en un punto.
La idea central es distinguir entre:
\[ \boxed{\lim_{x\to a}f(x)} \]y
\[ \boxed{f(a)} \]El límite nos dice hacia dónde se acerca la función. El valor \(f(a)\) nos dice cuánto vale realmente la función en el punto \(x=a\), si es que está definida ahí.
Para que exista el límite bilateral
\[ \lim_{x\to a}f(x), \]deben existir y coincidir los dos límites laterales:
\[ \lim_{x\to a^-}f(x) \qquad \text{y} \qquad \lim_{x\to a^+}f(x). \]Si los límites laterales son distintos, entonces el límite no existe.
Ejercicios resueltos
Para la función \(f(x)\), establece los siguientes valores:
\[ \text{a) } \lim_{x\to 3^+} f(x) \] \[ \text{b) } \lim_{x\to 3^-} f(x) \] \[ \text{c) } \lim_{x\to 3} f(x) \] \[ \text{d) } f(3) \]Observamos que la gráfica se acerca al punto \((3,2)\) tanto por la izquierda como por la derecha.
Por la derecha:
\[ \boxed{\lim_{x\to 3^+} f(x)=2} \]Por la izquierda:
\[ \boxed{\lim_{x\to 3^-} f(x)=2} \]Como los dos límites laterales coinciden, el límite existe:
\[ \boxed{\lim_{x\to 3} f(x)=2} \]Sin embargo, el punto \((3,2)\) es abierto y no aparece ningún punto cerrado con abscisa \(x=3\). Por tanto:
\[ \boxed{f(3)\ \text{no existe}} \]La función no es continua en \(x=3\), porque el límite existe, pero la función no está definida en ese punto.
Para la función \(f(x)\), establece los siguientes valores:
\[ \text{a) } \lim_{x\to 0^-} f(x) \] \[ \text{b) } \lim_{x\to 0^+} f(x) \] \[ \text{c) } \lim_{x\to 0} f(x) \] \[ \text{d) } f(0) \]La gráfica se aproxima al valor \(-2\) cuando \(x\) se acerca a \(0\) por la izquierda.
\[ \boxed{\lim_{x\to 0^-} f(x)=-2} \]También se aproxima al valor \(-2\) cuando \(x\) se acerca a \(0\) por la derecha.
\[ \boxed{\lim_{x\to 0^+} f(x)=-2} \]Como los dos límites laterales coinciden, tenemos:
\[ \boxed{\lim_{x\to 0} f(x)=-2} \]Pero el valor real de la función en \(x=0\) viene dado por el punto cerrado \((0,1)\). Por tanto:
\[ \boxed{f(0)=1} \]La función no es continua en \(x=0\), porque el límite existe, pero no coincide con el valor de la función.
Para la función \(f(x)\), establece los siguientes valores:
\[ \text{a) } \lim_{x\to -1^-} f(x) \] \[ \text{b) } \lim_{x\to -1^+} f(x) \] \[ \text{c) } \lim_{x\to -1} f(x) \] \[ \text{d) } f(-1) \]Cuando \(x\) se acerca a \(-1\) por la izquierda, la gráfica se aproxima a la altura \(1\).
\[ \boxed{\lim_{x\to -1^-} f(x)=1} \]Cuando \(x\) se acerca a \(-1\) por la derecha, la gráfica se aproxima a la altura \(-1\).
\[ \boxed{\lim_{x\to -1^+} f(x)=-1} \]Como los límites laterales son distintos, el límite bilateral no existe:
\[ \boxed{\lim_{x\to -1} f(x)\ \text{no existe}} \]El valor real de la función en \(x=-1\) viene dado por el punto cerrado \((-1,-1)\). Por tanto:
\[ \boxed{f(-1)=-1} \]La función no es continua en \(x=-1\), porque los límites laterales no coinciden.
Para la función \(f(x)\), establece los siguientes valores:
\[ \text{a) } \lim_{x\to 2^-} f(x) \] \[ \text{b) } \lim_{x\to 2^+} f(x) \] \[ \text{c) } \lim_{x\to 2} f(x) \] \[ \text{d) } f(2) \]Al acercarnos a \(x=2\) por la izquierda, la gráfica baja sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to 2^-} f(x)=-\infty} \]Al acercarnos a \(x=2\) por la derecha, la gráfica sube sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty} \]Como los límites laterales no coinciden, el límite bilateral no existe:
\[ \boxed{\lim_{x\to 2} f(x)\ \text{no existe}} \]Además, no hay ningún punto cerrado con abscisa \(x=2\). Por tanto:
\[ \boxed{f(2)\ \text{no existe}} \]La recta \(x=2\) es una asíntota vertical.
Para la función \(f(x)\), establece los siguientes valores:
\[ \text{a) } \lim_{x\to 3^-} f(x) \] \[ \text{b) } \lim_{x\to 3^+} f(x) \] \[ \text{c) } \lim_{x\to 3} f(x) \] \[ \text{d) } f(3) \]Cuando \(x\) se acerca a \(3\) por la izquierda, la función baja sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to 3^-} f(x)=-\infty} \]Cuando \(x\) se acerca a \(3\) por la derecha, la función también baja sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to 3^+} f(x)=-\infty} \]Como ambos límites laterales tienen el mismo comportamiento, escribimos:
\[ \boxed{\lim_{x\to 3} f(x)=-\infty} \]Como no aparece ningún punto cerrado con abscisa \(x=3\), la función no está definida en ese punto:
\[ \boxed{f(3)\ \text{no existe}} \]La recta \(x=3\) es una asíntota vertical.
Para la función \(f(x)\), establece los siguientes valores:
\[ \text{a) } \lim_{x\to +\infty} f(x) \] \[ \text{b) } \lim_{x\to -\infty} f(x) \]Cuando \(x\) avanza hacia la derecha, la función crece sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty} \]Cuando \(x\) avanza hacia la izquierda, la gráfica se aproxima al eje \(x\).
El eje \(x\) corresponde a la recta:
\[ y=0. \]Por tanto:
\[ \boxed{\lim_{x\to -\infty} f(x)=0} \]La recta \(y=0\) es una asíntota horizontal cuando \(x\to -\infty\).
Para la función \(f(x)=\ln x\), establece los siguientes valores:
\[ \text{a) } \lim_{x\to 0^-} \ln x \] \[ \text{b) } \lim_{x\to 0^+} \ln x \] \[ \text{c) } \lim_{x\to +\infty} \ln x \]La función logarítmica
\[ f(x)=\ln x \]solo está definida para valores positivos de \(x\):
\[ \boxed{x>0} \]Por tanto, no existe límite por la izquierda en \(x=0\), porque no hay valores del dominio con \(x<0\).
\[ \boxed{\lim_{x\to 0^-}\ln x\ \text{no existe}} \]Cuando \(x\to 0^+\), el logaritmo baja sin límite:
\[ \boxed{\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty} \]Cuando \(x\to +\infty\), el logaritmo crece sin límite, aunque lentamente:
\[ \boxed{\lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty} \]La recta \(x=0\) actúa como asíntota vertical para \(f(x)=\ln x\).
Para la función \(f(x)\), establece los siguientes valores:
\[ \text{a) } \lim_{x\to 0^-} f(x) \] \[ \text{b) } \lim_{x\to 0^+} f(x) \] \[ \text{c) } \lim_{x\to 0} f(x) \] \[ \text{d) } f(0) \] \[ \text{e) } \lim_{x\to +\infty} f(x) \] \[ \text{f) } \lim_{x\to -\infty} f(x) \]Cuando \(x\) se acerca a \(0\) por la izquierda, la gráfica se aproxima al valor \(2\).
\[ \boxed{\lim_{x\to 0^-} f(x)=2} \]Cuando \(x\) se acerca a \(0\) por la derecha, la gráfica se aproxima al valor \(0\).
\[ \boxed{\lim_{x\to 0^+} f(x)=0} \]Como los límites laterales son distintos, el límite bilateral no existe:
\[ \boxed{\lim_{x\to 0} f(x)\ \text{no existe}} \]El valor real de la función en \(x=0\) viene dado por el punto cerrado \((0,2)\). Por tanto:
\[ \boxed{f(0)=2} \]Cuando \(x\to +\infty\), la función oscila y no se aproxima a un único valor.
\[ \boxed{\lim_{x\to +\infty} f(x)\ \text{no existe}} \]Cuando \(x\to -\infty\), la rama izquierda sube sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty} \]La función no es continua en \(x=0\), porque los límites laterales son distintos.
Para la función \(f(x)\), establece los siguientes valores:
\[ \text{a) } \lim_{x\to 2^-} f(x) \] \[ \text{b) } \lim_{x\to 2^+} f(x) \] \[ \text{c) } \lim_{x\to 2} f(x) \] \[ \text{d) } f(2) \] \[ \text{e) } f(4) \]Cuando \(x\) se acerca a \(2\) por la izquierda, la gráfica se aproxima a \(3\).
\[ \boxed{\lim_{x\to 2^-} f(x)=3} \]Cuando \(x\) se acerca a \(2\) por la derecha, la gráfica se aproxima a \(1\).
\[ \boxed{\lim_{x\to 2^+} f(x)=1} \]Como los límites laterales son distintos, el límite bilateral no existe:
\[ \boxed{\lim_{x\to 2} f(x)\ \text{no existe}} \]El valor real de la función en \(x=2\) viene dado por el punto cerrado \((2,3)\). Por tanto:
\[ \boxed{f(2)=3} \]En \(x=4\) aparece un punto abierto, pero no hay ningún punto cerrado con abscisa \(4\). Por tanto:
\[ \boxed{f(4)\ \text{no existe}} \]La función no es continua en \(x=2\), porque los límites laterales no coinciden.
Para la función \(f(x)\), establece los siguientes valores:
\[ \text{a) } \lim_{x\to -4^-} f(x) \qquad \text{b) } \lim_{x\to -4^+} f(x) \qquad \text{c) } \lim_{x\to -4} f(x) \] \[ \text{d) } \lim_{x\to -1^-} f(x) \qquad \text{e) } \lim_{x\to -1^+} f(x) \qquad \text{f) } \lim_{x\to -1} f(x) \] \[ \text{g) } \lim_{x\to 2^-} f(x) \qquad \text{h) } \lim_{x\to 2^+} f(x) \qquad \text{i) } \lim_{x\to 2} f(x) \]1) Límites en \(x=-4\)
Cuando \(x\to -4^-\), la función sube sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to -4^-} f(x)=+\infty} \]Cuando \(x\to -4^+\), la función también sube sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to -4^+} f(x)=+\infty} \]Como los dos límites laterales coinciden:
\[ \boxed{\lim_{x\to -4} f(x)=+\infty} \]2) Límites en \(x=-1\)
Cuando \(x\to -1^-\), la función baja sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to -1^-} f(x)=-\infty} \]Cuando \(x\to -1^+\), la función también baja sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to -1^+} f(x)=-\infty} \]Como los dos límites laterales coinciden:
\[ \boxed{\lim_{x\to -1} f(x)=-\infty} \]3) Límites en \(x=2\)
Cuando \(x\to 2^-\), la función baja sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to 2^-} f(x)=-\infty} \]Cuando \(x\to 2^+\), la función sube sin límite.
\[ \boxed{\lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty} \]Como los límites laterales son distintos, el límite bilateral no existe:
\[ \boxed{\lim_{x\to 2} f(x)\ \text{no existe}} \]Conclusión
\[ \boxed{\lim_{x\to -4^-} f(x)=+\infty} \qquad \boxed{\lim_{x\to -4^+} f(x)=+\infty} \qquad \boxed{\lim_{x\to -4} f(x)=+\infty} \] \[ \boxed{\lim_{x\to -1^-} f(x)=-\infty} \qquad \boxed{\lim_{x\to -1^+} f(x)=-\infty} \qquad \boxed{\lim_{x\to -1} f(x)=-\infty} \] \[ \boxed{\lim_{x\to 2^-} f(x)=-\infty} \qquad \boxed{\lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty} \qquad \boxed{\lim_{x\to 2} f(x)\ \text{no existe}} \]Hay asíntotas verticales en:
\[ \boxed{x=-4,\qquad x=-1,\qquad x=2} \]Resolución de los ejercicios en formato vídeo
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