Resolver gráficamente un sistema con raíz cuadrada y circunferencia
Vamos a resolver un sistema de ecuaciones de una forma muy visual. La idea no es empezar haciendo muchas cuentas, sino interpretar cada ecuación como una gráfica. Las soluciones del sistema serán los puntos donde esas dos gráficas se cortan.
El sistema que queremos resolver es:
```A primera vista puede parecer un sistema extraño, porque mezcla una raíz cuadrada con una circunferencia. Pero gráficamente es muy claro.
```1. La primera ecuación es una función raíz cuadrada
La ecuación
representa una función raíz cuadrada. Para entenderla, conviene recordar primero la función más sencilla:
Esta función empieza en el punto \((0,0)\), pasa por \((1,1)\) y va creciendo poco a poco. Su gráfica tiene la forma típica de la raíz cuadrada.
Ahora bien, en nuestro caso no tenemos \(\sqrt{x}\), sino \(\sqrt{x+1}\). Ese \(+1\) dentro de la raíz desplaza la gráfica una unidad hacia la izquierda.
2. La segunda ecuación es una circunferencia
La segunda ecuación del sistema es:
Esta es una ecuación muy importante en geometría analítica. Representa una circunferencia centrada en el origen y de radio \(1\).
En general, una circunferencia centrada en el origen tiene ecuación:
En nuestro caso:
Por tanto:
3. Dibujo gráfico del sistema
En el dibujo aparecen las dos gráficas: la función \(y=\sqrt{x+1}\) y la circunferencia \(x^2+y^2=1\). Las soluciones del sistema son los puntos donde se cortan.
4. Lectura gráfica de las soluciones
Observando el dibujo, vemos que la curva de la raíz cuadrada y la circunferencia se cortan en dos puntos.
Por tanto, las soluciones del sistema son:
5. Comprobación algebraica rápida
Aunque el objetivo del ejercicio es resolver gráficamente, podemos comprobar el resultado con álgebra.
Como:
entonces:
Sustituimos esto en la ecuación de la circunferencia:
Como \(y^2=x+1\), queda:
Restamos \(1\) en ambos lados:
Factorizamos:
Por tanto:
Si \(x=0\):
Obtenemos:
Si \(x=-1\):
Obtenemos:
6. Cuidado con un detalle importante
En la ecuación \(y=\sqrt{x+1}\), la raíz cuadrada representa la raíz no negativa. Por eso los puntos de la gráfica están en la parte superior o sobre el eje \(x\).
Este detalle es importante porque la circunferencia completa tiene parte superior y parte inferior, pero la función raíz cuadrada solo nos da valores \(y\geq 0\).
Conclusión
El sistema
tiene dos soluciones:
La razón es que la gráfica de \(y=\sqrt{x+1}\) corta a la circunferencia \(x^2+y^2=1\) exactamente en esos dos puntos.
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