Calcula \(4^{123}\cdot 625^{60}\) sin calculadora
Esta operación parece enorme, incómoda y casi imposible de hacer a mano. Pero con una buena idea y varias propiedades de las potencias, el cálculo se transforma en algo sorprendentemente limpio.
```El problema
```Queremos calcular la siguiente expresión:
A primera vista parece un producto de potencias gigantesco. La clave está en no intentar calcular cada potencia por separado. Eso sería una locura. Lo inteligente es transformar las bases y los exponentes para que aparezca una estructura sencilla.
Primer paso: reescribir \(625\)
```Observamos que \(625\) puede escribirse como una potencia:
Entonces:
Usamos la propiedad de potencia de una potencia:
Como las bases son positivas, podemos aplicar la propiedad sin problemas:
Segundo paso: descomponer \(4^{123}\)
```Ahora miramos el otro factor:
El exponente \(123\) lo podemos escribir como:
Entonces:
Usamos la propiedad:
Por tanto:
Tercer paso: juntar lo que tiene el mismo exponente
```Sustituimos todo en la expresión inicial:
Reordenamos los factores:
Ahora aparece la parte bonita del ejercicio. Tenemos dos potencias con el mismo exponente:
Usamos la propiedad:
Entonces:
Pero:
Así que:
Cuarto paso: calcular \(4^3\)
```Ahora calculamos el factor pequeño:
Por tanto:
Ya no tenemos una expresión fea. Tenemos una expresión que está pidiendo convertirse en potencia de \(10\).
```Quinto paso: convertir \(100^{120}\) en potencia de \(10\)
```Sabemos que:
Entonces:
Aplicamos de nuevo la propiedad de potencia de una potencia:
Por tanto:
Sexto paso: escribir el resultado en notación científica
```Tenemos:
Para escribirlo en notación científica, necesitamos que el número que multiplica a la potencia de \(10\) esté entre \(1\) y \(10\).
Por eso escribimos:
Entonces:
Como al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes:
obtenemos:
Resultado final
```La operación inicial era:
Después de transformar la expresión usando propiedades de las potencias, hemos llegado a:
Es decir, un número brutal. También puede verse como:
que es \(64\) seguido de \(240\) ceros.
```Idea importante
```Este ejercicio enseña una idea fundamental: cuando una operación parece enorme, no siempre hay que calcular más. Muchas veces hay que calcular mejor.
Aquí el secreto fue reconocer que:
Gracias a esas tres observaciones, una expresión aparentemente horrible se convirtió en una potencia de \(10\), ideal para escribir en notación científica.
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