Cómo calcular los lados de un rectángulo

Lados de un rectángulo con diagonal 25 cm y perímetro 70 cm

En este problema tenemos un rectángulo cuya diagonal mide 25 cm y cuyo perímetro mide 70 cm. Con esos dos datos queremos calcular cuánto miden sus lados.

Este ejercicio es muy interesante porque mezcla varias ideas importantes: perímetro de un rectángulo, teorema de Pitágoras, sistemas de ecuaciones y una ecuación de segundo grado. No es solo un problema de “sustituir en una fórmula”; hay que construir bien las ecuaciones.

Dibujo del problema

Datos del problema

Llamamos \(x\) e \(y\) a los lados del rectángulo.

\[ \text{Diagonal}=25\ \text{cm} \] \[ \text{Perímetro}=70\ \text{cm} \]

Queremos hallar los valores de \(x\) e \(y\).

1. Usamos el perímetro del rectángulo

El perímetro de un rectángulo se obtiene sumando sus cuatro lados:

\[ P=x+x+y+y \]

Por tanto:

\[ P=2x+2y \]

Como el perímetro mide \(70\ \text{cm}\), tenemos:

\[ 2x+2y=70 \]

Dividimos entre 2:

\[ x+y=35 \]

Primera ecuación: \[ \boxed{x+y=35} \]

2. Usamos el teorema de Pitágoras

La diagonal del rectángulo forma un triángulo rectángulo con los lados \(x\) e \(y\). Por tanto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

\[ x^2+y^2=25^2 \]

Como:

\[ 25^2=625 \]

queda:

\[ x^2+y^2=625 \]

Segunda ecuación: \[ \boxed{x^2+y^2=625} \]

3. Tenemos un sistema de ecuaciones

Hemos obtenido este sistema:

\[ \begin{cases} x+y=35 \\ x^2+y^2=625 \end{cases} \]

La primera ecuación es lineal. La segunda no lo es, porque contiene cuadrados. Por eso el problema conduce a una ecuación de segundo grado.

4. Despejamos una variable

De la primera ecuación:

\[ x+y=35 \]

despejamos \(y\):

\[ y=35-x \]

5. Sustituimos en la ecuación de Pitágoras

Partimos de:

\[ x^2+y^2=625 \]

Como \(y=35-x\), sustituimos:

\[ x^2+(35-x)^2=625 \]

Ahora desarrollamos el cuadrado:

\[ (35-x)^2=35^2-2\cdot 35\cdot x+x^2 \]

Como:

\[ 35^2=1225 \]

tenemos:

\[ (35-x)^2=1225-70x+x^2 \]

Sustituimos:

\[ x^2+1225-70x+x^2=625 \]

Agrupamos:

\[ 2x^2-70x+1225=625 \]

Restamos 625 en ambos miembros:

\[ 2x^2-70x+600=0 \]

Dividimos entre 2:

\[ x^2-35x+300=0 \]

Hemos llegado a la ecuación: \[ \boxed{x^2-35x+300=0} \]

6. Resolvemos la ecuación de segundo grado

Para resolver:

\[ x^2-35x+300=0 \]

usamos la fórmula general:

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

En este caso:

\[ a=1,\qquad b=-35,\qquad c=300 \]

Sustituimos:

\[ x=\frac{-(-35)\pm\sqrt{(-35)^2-4\cdot 1\cdot 300}}{2\cdot 1} \]

Calculamos dentro de la raíz:

\[ (-35)^2=1225 \] \[ 4\cdot 1\cdot 300=1200 \] \[ 1225-1200=25 \]

Por tanto:

\[ x=\frac{35\pm\sqrt{25}}{2} \]

Como:

\[ \sqrt{25}=5 \]

queda:

\[ x=\frac{35\pm 5}{2} \]

7. Obtenemos las dos soluciones

Primera posibilidad:

\[ x=\frac{35+5}{2} \] \[ x=\frac{40}{2}=20 \]

Segunda posibilidad:

\[ x=\frac{35-5}{2} \] ``` \[ x=\frac{30}{2}=15 \] ```

Los posibles valores de \(x\) son: \[ \boxed{x=20} \] ``` \[ \boxed{x=15} \] ```

8. Calculamos el otro lado

Recordamos que:

\[ y=35-x \]

Si:

\[ x=20 \]

entonces:

\[ y=35-20=15 \]

Y si:

\[ x=15 \]

entonces:

\[ y=35-15=20 \]

En realidad es el mismo rectángulo, solo que hemos intercambiado el nombre de los lados.

Los lados del rectángulo son: \[ \boxed{15\ \text{cm}\quad \text{y}\quad 20\ \text{cm}} \]

9. Comprobamos el resultado

Comprobamos el perímetro:

\[ P=2\cdot 15+2\cdot 20 \] \[ P=30+40=70\ \text{cm} \]

Comprobamos la diagonal con Pitágoras:

\[ d^2=15^2+20^2 \] \[ d^2=225+400=625 \] \[ d=\sqrt{625}=25\ \text{cm} \]

Todo encaja.

Resultado final

El rectángulo tiene lados: \[ \boxed{15\ \text{cm}\quad \text{y}\quad 20\ \text{cm}} \]

Este problema muestra una idea muy importante: cuando conocemos el perímetro y la diagonal de un rectángulo, podemos formar un sistema usando el perímetro y el teorema de Pitágoras. La solución aparece al resolver una ecuación de segundo grado.

Vídeo relacionado:

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Matemáticas con Juan

Ejercicio resuelto en formato vídeo

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