El famoso problema de los 2 grifos

Dos grifos llenan un depósito: problema resuelto paso a paso

Queremos llenar un depósito de agua usando dos grifos. El grifo A puede llenar el depósito él solo en 2 horas. El grifo B puede llenarlo él solo en 10 horas. La pregunta es: si los dos grifos funcionan a la vez, ¿cuánto tiempo tardan en llenar el depósito?

Este es un problema clásico de grifos, depósitos y trabajo conjunto. Lo importante es no caer en el error de sumar directamente los tiempos. No debemos hacer \(2+10\), porque esos números no representan lo que se llena en una hora. Lo correcto es calcular primero qué parte del depósito llena cada grifo en una hora.

Enunciado del problema

Tenemos dos grifos que llenan un mismo depósito:

\[ \text{Grifo A: llena el depósito en }2\text{ horas} \] ``` \[ \text{Grifo B: llena el depósito en }10\text{ horas} \] ```

Queremos saber cuánto tardan en llenar el depósito si ambos grifos funcionan al mismo tiempo.

1. Qué parte llena el grifo A en una hora

El grifo A llena el depósito completo en 2 horas. Por tanto, en una hora llena la mitad del depósito:

\[ \text{Grifo A en 1 hora}=\frac{1}{2}\text{ del depósito} \]

Esto tiene sentido: si en dos horas llena todo, en una hora llena medio depósito.

2. Qué parte llena el grifo B en una hora

El grifo B llena el depósito completo en 10 horas. Por tanto, en una hora llena una décima parte del depósito:

\[ \text{Grifo B en 1 hora}=\frac{1}{10}\text{ del depósito} \]

El grifo B es más lento que el grifo A, así que es razonable que en una hora llene menos cantidad.

3. Los dos grifos funcionando juntos durante una hora

Si ambos grifos funcionan a la vez, en una hora llenan la suma de lo que llena cada uno:

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{10} \]

Para sumar estas fracciones usamos denominador común. Escribimos:

\[ \frac{1}{2}=\frac{5}{10} \]

Entonces:

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{10} = \frac{5}{10}+\frac{1}{10} \] ``` \[ \frac{5}{10}+\frac{1}{10} = \frac{6}{10} \] \[ \frac{6}{10}=\frac{3}{5} \] ```

Los dos grifos juntos llenan en una hora: \[ \boxed{\frac{3}{5}\text{ del depósito}} \]

4. Calculamos el tiempo necesario para llenar todo el depósito

Ya sabemos que en una hora se llenan \(\frac{3}{5}\) del depósito.

\[ 1\text{ hora}\longrightarrow \frac{3}{5}\text{ del depósito} \]

Ahora queremos llenar el depósito completo:

\[ 1\text{ depósito completo} \]

Como la velocidad conjunta de llenado es:

\[ \frac{3}{5}\text{ depósitos por hora} \]

el tiempo necesario será:

\[ t=\frac{1}{\frac{3}{5}} \]

Dividir entre una fracción es multiplicar por su inversa:

\[ t=1\cdot \frac{5}{3} \] ``` \[ t=\frac{5}{3}\text{ horas} \] ```

El tiempo exacto es: \[ \boxed{\frac{5}{3}\text{ horas}} \]

5. Interpretamos \(\frac{5}{3}\) horas

El resultado \(\frac{5}{3}\) horas es correcto, pero conviene expresarlo de una forma más cotidiana.

\[ \frac{5}{3} = \frac{3}{3}+\frac{2}{3} \]

Como:

\[ \frac{3}{3}\text{ de hora}=1\text{ hora} \]

nos queda convertir:

\[ \frac{2}{3}\text{ de hora} \]

Sabemos que una hora tiene 60 minutos. Por tanto:

\[ \frac{2}{3}\cdot 60 = \frac{120}{3} = 40 \]

Así que:

\[ \frac{2}{3}\text{ de hora}=40\text{ minutos} \]

Resultado final

Los dos grifos funcionando juntos tardan: \[ \boxed{1\text{ hora y }40\text{ minutos}} \]

Otra forma de verlo

También podemos pensar el problema mediante tasas de llenado. El grifo A llena:

\[ \frac{1}{2}\text{ depósito por hora} \]

El grifo B llena:

\[ \frac{1}{10}\text{ depósito por hora} \]

Juntos llenan:

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{10} = \frac{3}{5}\text{ depósitos por hora} \]

Si llenan \(\frac{3}{5}\) de depósito cada hora, para llenar 1 depósito tardan:

\[ \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}\text{ horas} \]

La clave de estos problemas es sumar velocidades de llenado, no tiempos. No sumamos 2 horas y 10 horas. Sumamos \(\frac{1}{2}\) y \(\frac{1}{10}\), que son las partes del depósito que llena cada grifo en una hora.

Resumen del problema

Elemento	Información
Grifo A	Llena el depósito en 2 horas
Grifo B	Llena el depósito en 10 horas
Grifo A en 1 hora	\(\frac{1}{2}\) del depósito
Grifo B en 1 hora	\(\frac{1}{10}\) del depósito
Juntos en 1 hora	\(\frac{3}{5}\) del depósito
Tiempo total	\(\frac{5}{3}\) horas = 1 hora y 40 minutos

Resultado final: \[ \boxed{1\text{ hora y }40\text{ minutos}} \]

EL PROBLEMA EN VERSIÓN VÍDEO

Más entradas interesantes de matemáticas

Aquí tienes otras entradas del blog seleccionadas de forma aleatoria:

• Cargando entradas...