Ecuación trigonométrica con ángulos dobles: cos2x=-cosx

Cómo resolver la ecuación trigonométrica cos 2x = -cos x

Vamos a resolver paso a paso una ecuación trigonométrica muy interesante:

\[ \cos(2x)=-\cos x \]

Este ejercicio es muy útil porque obliga a combinar varias ideas importantes de trigonometría: identidad del coseno del ángulo doble, identidad trigonométrica fundamental, cambio de variable, ecuación cuadrática y circunferencia goniométrica.

Idea principal: queremos convertir la ecuación inicial en una ecuación más sencilla, preferiblemente escrita solo en función de \(\cos x\).

1. La ecuación inicial

Partimos de:

\[ \cos(2x)=-\cos x \]

El problema es que aparece \(\cos(2x)\). Nos gustaría tener una expresión en función de \(x\), no de \(2x\). Para eso usamos una identidad trigonométrica muy conocida.

2. Usamos la identidad del coseno del ángulo doble

Recordamos que:

\[ \cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x \]

Sustituimos esta expresión en la ecuación inicial:

\[ \cos^2 x-\sin^2 x=-\cos x \]

Ahora llevamos todos los términos al mismo miembro. Sumamos \(\cos x\) en ambos lados:

\[ \cos^2 x-\sin^2 x+\cos x=0 \]

3. Queremos eliminar el seno

En la ecuación tenemos \(\cos^2 x\), \(\sin^2 x\) y \(\cos x\). Conviene escribirlo todo en función de \(\cos x\). Para ello usamos la identidad trigonométrica fundamental:

\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1 \]

De aquí despejamos \(\sin^2 x\):

\[ \sin^2 x=1-\cos^2 x \]

Sustituimos en la ecuación:

\[ \cos^2 x-(1-\cos^2 x)+\cos x=0 \]

Quitamos el paréntesis:

\[ \cos^2 x-1+\cos^2 x+\cos x=0 \]

Sumamos los términos semejantes:

\[ 2\cos^2 x+\cos x-1=0 \]

Hemos transformado la ecuación trigonométrica inicial en una ecuación escrita solo con \(\cos x\).

4. Cambio de variable

Para verla más clara, hacemos el cambio:

\[ t=\cos x \]

Entonces:

\[ \cos^2 x=t^2 \]

La ecuación:

\[ 2\cos^2 x+\cos x-1=0 \]

se convierte en:

\[ 2t^2+t-1=0 \]

5. Resolvemos la ecuación cuadrática

Tenemos:

\[ 2t^2+t-1=0 \]

Es una ecuación de segundo grado con:

\[ a=2,\qquad b=1,\qquad c=-1 \]

Aplicamos la fórmula general:

\[ t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Sustituimos:

\[ t=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 2\cdot(-1)}}{2\cdot 2} \]

Calculamos el discriminante:

\[ 1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9 \]

Por tanto:

\[ t=\frac{-1\pm 3}{4} \]

Obtenemos dos soluciones:

\[ t=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

\[ t=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1 \]

Así que:

\[ t=\frac{1}{2} \qquad \text{o} \qquad t=-1 \]

6. Deshacemos el cambio de variable

Como habíamos hecho:

\[ t=\cos x \]

las dos posibilidades anteriores se convierten en:

\[ \cos x=\frac{1}{2} \]

y:

\[ \cos x=-1 \]

Ya no tenemos una ecuación cuadrática. Ahora tenemos dos ecuaciones trigonométricas básicas.

7. Resolvemos cos x = 1/2

Sabemos que:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \]

Por tanto, una solución es:

\[ x=\frac{\pi}{3} \]

Pero las funciones trigonométricas son periódicas. Si damos una vuelta completa, es decir, si sumamos \(2\pi\), volvemos al mismo punto de la circunferencia goniométrica. Por eso obtenemos una primera familia:

\[ x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \]

donde \(k\) es cualquier número entero.

Además, \(\cos x=\frac{1}{2}\) también se cumple en el cuarto cuadrante:

\[ x=\frac{5\pi}{3} \]

Y de nuevo podemos sumar vueltas completas:

\[ x=\frac{5\pi}{3}+2\pi k \]

8. Resolvemos cos x = -1

Ahora resolvemos:

\[ \cos x=-1 \]

En la circunferencia goniométrica esto ocurre en:

\[ x=\pi \]

Sumando vueltas completas, obtenemos:

\[ x=\pi+2\pi k \]

9. Solución final

Las soluciones de la ecuación:

\[ \cos(2x)=-\cos x \]

son:

\[ x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \]

\[ x=\frac{5\pi}{3}+2\pi k \]

\[ x=\pi+2\pi k \]

donde \(k\in\mathbb{Z}\).

Resumen del método

Para resolver la ecuación hemos seguido estos pasos:

• Usar la identidad \(\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\).
• Usar la identidad \(\sin^2x+\cos^2x=1\).
• Escribir toda la ecuación en función de \(\cos x\).
• Hacer el cambio de variable \(t=\cos x\).
• Resolver la ecuación cuadrática \(2t^2+t-1=0\).
• Deshacer el cambio de variable.
• Resolver las ecuaciones trigonométricas básicas con ayuda de la circunferencia goniométrica.

```

Conclusión

Esta ecuación es un buen ejemplo de cómo muchas ecuaciones trigonométricas aparentemente complicadas pueden transformarse en ecuaciones conocidas. La clave está en elegir bien las identidades trigonométricas y no olvidar que, al final, las soluciones trigonométricas suelen aparecer en familias infinitas debido a la periodicidad.

En trigonometría no basta con encontrar una solución. Hay que encontrar todas las soluciones, y por eso aparece el término \(2\pi k\).

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