Comparación de dos potencias tremendas

Potencias y aritmética

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¿Qué es mayor: \(9^{63}\) o \(6^{93}\)?

En este problema vamos a comparar dos potencias enormes sin calcularlas directamente. La idea no es hacer cuentas gigantescas, sino transformar las expresiones con inteligencia hasta que la comparación sea evidente.

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El problema

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Queremos decidir cuál de estas dos cantidades es mayor:

\[ 9^{63} \qquad \text{y} \qquad 6^{93} \]

A simple vista no parece fácil, porque las dos potencias son enormes. Además, una tiene una base mayor, \(9\), pero la otra tiene un exponente mayor, \(93\). Por eso no basta con mirar solo la base o solo el exponente.

Necesitamos transformar ambas expresiones para poder compararlas con claridad.

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Primer paso: factorizar las bases

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Empezamos escribiendo las bases de forma más útil:

\[ 9 = 3^2 \] \[ 6 = 2\cdot 3 \]

Entonces podemos transformar la primera potencia:

\[ 9^{63}=(3^2)^{63} \]

Usamos la propiedad de potencia de una potencia:

\[ (a^b)^c=a^{bc} \]

Por tanto:

\[ (3^2)^{63}=3^{2\cdot 63}=3^{126} \]

Conclusión parcial: \[ 9^{63}=3^{126} \]

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Segundo paso: transformar \(6^{93}\)

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Ahora trabajamos con la segunda potencia:

\[ 6^{93}=(2\cdot 3)^{93} \]

Usamos la propiedad:

\[ (a\cdot b)^c=a^c\cdot b^c \]

Así obtenemos:

\[ (2\cdot 3)^{93}=2^{93}\cdot 3^{93} \]

Conclusión parcial: \[ 6^{93}=2^{93}\cdot 3^{93} \]

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Tercer paso: preparar \(9^{63}\) para compararlo

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Habíamos obtenido:

\[ 9^{63}=3^{126} \]

Ahora escribimos el exponente \(126\) de una forma muy conveniente:

\[ 126=93+33 \]

Por tanto:

\[ 3^{126}=3^{93+33} \]

Usamos la propiedad:

\[ a^{b+c}=a^b\cdot a^c \]

Entonces:

\[ 3^{93+33}=3^{93}\cdot 3^{33} \]

Ahora tenemos las dos potencias en una forma comparable: \[ 9^{63}=3^{93}\cdot 3^{33} \] \[ 6^{93}=3^{93}\cdot 2^{93} \]

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Cuarto paso: eliminar el factor común

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Observa que en ambas expresiones aparece el factor \(3^{93}\):

\[ 9^{63}=3^{93}\cdot 3^{33} \] \[ 6^{93}=3^{93}\cdot 2^{93} \]

Como \(3^{93}\) es positivo, comparar las dos cantidades anteriores es equivalente a comparar:

\[ 3^{33} \qquad \text{y} \qquad 2^{93} \]

Es decir, el problema original se ha reducido a decidir si:

\[ 2^{93} > 3^{33} \]

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El truco decisivo

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Comparar directamente \(2^{93}\) con \(3^{33}\) todavía puede parecer incómodo. Pero podemos hacer algo muy elegante.

En lugar de usar \(2^{93}\), vamos a usar un número más pequeño: \[ 2^{66} \] Si incluso ese número más pequeño es mayor que \(3^{33}\), entonces \(2^{93}\) también será mayor que \(3^{33}\).

Ahora transformamos \(2^{66}\):

\[ 2^{66}=2^{2\cdot 33} \]

Y esto se puede escribir como:

\[ 2^{2\cdot 33}=(2^2)^{33} \]

Como \(2^2=4\), tenemos:

\[ 2^{66}=4^{33} \]

Y ahora la comparación es muy clara:

\[ 4^{33}>3^{33} \]

Si dos potencias tienen el mismo exponente positivo, será mayor la que tenga mayor base. Como \(4>3\), entonces:

\[ 4^{33}>3^{33} \]

Pero \(4^{33}=2^{66}\), así que:

\[ 2^{66}>3^{33} \]

Y como:

\[ 2^{93}>2^{66} \]

podemos concluir que:

\[ 2^{93}>3^{33} \]

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Conclusión final

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Hemos reducido el problema original a una comparación mucho más sencilla. Como:

\[ 2^{93}>3^{33} \]

entonces también se cumple:

\[ 3^{93}\cdot 2^{93} > 3^{93}\cdot 3^{33} \]

Es decir:

\[ 6^{93}>9^{63} \]

Por tanto, el número mayor es:

\[ \boxed{6^{93}} \]

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Idea importante del ejercicio

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Este problema enseña una idea fundamental: cuando los números son demasiado grandes, no conviene intentar calcularlos. Lo inteligente es transformar las expresiones, buscar factores comunes y reducir la comparación a otra más sencilla.

Aquí no hemos calculado \(9^{63}\) ni \(6^{93}\). Hemos usado propiedades de las potencias para demostrar cuál es mayor.

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Ejercicio resuelto en vídeo

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En el vídeo puedes ver la resolución explicada paso a paso, con la estrategia completa para comparar estas dos potencias enormes sin calcularlas directamente.

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