¿Para qué sirve integrar? Deducción de las ecuaciones del movimiento rectilíneo

Integrar no es solo una técnica matemática. En física sirve para construir leyes. En esta entrada vamos a ver cómo aparecen las ecuaciones del movimiento rectilíneo integrando las definiciones de velocidad y aceleración.

La pregunta inicial

Una pregunta muy natural cuando se empieza a estudiar cálculo integral es:

¿Para qué sirve integrar?

Una respuesta muy importante es esta: integrar sirve para pasar de la aceleración a la velocidad, y de la velocidad a la posición.

En esta entrada vamos a deducir varias ecuaciones fundamentales de la cinemática. No las vamos a presentar como fórmulas mágicas, sino como consecuencias naturales de las definiciones de velocidad y aceleración.

Velocidad y aceleración instantáneas

Vamos a estudiar el movimiento de un cuerpo sobre una línea recta. Por eso podemos prescindir de la notación vectorial y trabajar con una sola coordenada, que llamaremos \(x\).

La velocidad instantánea es el cambio instantáneo de la posición respecto del tiempo:

\[ v=\frac{dx}{dt} \]

La aceleración instantánea es el cambio instantáneo de la velocidad respecto del tiempo:

\[ a=\frac{dv}{dt} \]

Estas dos definiciones son el punto de partida de todo lo que vamos a deducir.

1. Posición en un movimiento con velocidad constante

Si la velocidad es constante, partimos de:

\[ v=\frac{dx}{dt} \]

Reescribimos:

\[ dx=v\,dt \]

Ahora integramos. La posición pasa de \(x_0\) a \(x\), y el tiempo pasa de \(t_0\) a \(t\):

\[ \int_{x_0}^{x} dx=\int_{t_0}^{t} v\,dt \]

Como \(v\) es constante, sale fuera de la integral:

\[ x-x_0=v(t-t_0) \]

Sumamos \(x_0\) en ambos miembros:

\[ x=x_0+v(t-t_0) \]

Primera ecuación obtenida

```

\[ \boxed{x=x_0+v(t-t_0)} \]

Esta es la ecuación de la posición para un movimiento rectilíneo con velocidad constante.

2. Velocidad en un movimiento con aceleración constante

Ahora partimos de la definición de aceleración:

\[ a=\frac{dv}{dt} \]

Reescribimos:

\[ dv=a\,dt \]

Integramos desde una velocidad inicial \(v_0\) hasta una velocidad \(v\), y desde un tiempo inicial \(t_0\) hasta un tiempo \(t\):

\[ \int_{v_0}^{v} dv=\int_{t_0}^{t} a\,dt \]

Si la aceleración \(a\) es constante, queda:

\[ v-v_0=a(t-t_0) \]

Sumamos \(v_0\) en ambos miembros:

\[ v=v_0+a(t-t_0) \]

Segunda ecuación obtenida

\[ \boxed{v=v_0+a(t-t_0)} \]

Esta ecuación nos da la velocidad para cualquier instante \(t\) cuando la aceleración es constante.

3. Posición en un movimiento con aceleración constante

Ya sabemos que:

\[ v=v_0+a(t-t_0) \]

Pero también sabemos que:

\[ v=\frac{dx}{dt} \]

Por tanto:

\[ \frac{dx}{dt}=v_0+a(t-t_0) \]

Multiplicamos por \(dt\):

\[ dx=v_0\,dt+a(t-t_0)\,dt \]

Integramos desde \(x_0\) hasta \(x\), y desde \(t_0\) hasta \(t\):

\[ \int_{x_0}^{x} dx= \int_{t_0}^{t} v_0\,dt+ \int_{t_0}^{t} a(t-t_0)\,dt \]

Al integrar, obtenemos:

\[ x-x_0=v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2 \]

Sumamos \(x_0\) en ambos miembros:

\[ x=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2 \]

Tercera ecuación obtenida

\[ \boxed{x=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2} \]

Esta es la ecuación de la posición para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

4. Ecuación sin el tiempo

Hay otra ecuación muy importante:

\[ v^2-v_0^2=2a(x-x_0) \]

Puede obtenerse despejando y sustituyendo entre las ecuaciones anteriores, pero también podemos obtenerla integrando directamente.

Partimos de:

\[ a=\frac{dv}{dt} \]

Usamos que:

\[ v=\frac{dx}{dt} \]

Entonces:

\[ a=\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx} \]

Por tanto:

\[ a\,dx=v\,dv \]

Integramos:

\[ \int_{x_0}^{x} a\,dx=\int_{v_0}^{v} v\,dv \]

Como \(a\) es constante:

\[ a(x-x_0)=\frac{1}{2}(v^2-v_0^2) \]

Multiplicamos por 2:

\[ 2a(x-x_0)=v^2-v_0^2 \]

Es decir:

\[ v^2-v_0^2=2a(x-x_0) \]

Cuarta ecuación obtenida

\[ \boxed{v^2-v_0^2=2a(x-x_0)} \]

Esta ecuación es muy útil porque relaciona velocidad, aceleración y desplazamiento sin usar explícitamente el tiempo.

Resumen de las ecuaciones obtenidas

Situación	Ecuación
Movimiento con velocidad constante	\(x=x_0+v(t-t_0)\)
Velocidad con aceleración constante	\(v=v_0+a(t-t_0)\)
Posición con aceleración constante	\(x=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2\)
Relación sin el tiempo	\(v^2-v_0^2=2a(x-x_0)\)

La idea más importante

La integración aparece de forma natural porque la velocidad es la derivada de la posición y la aceleración es la derivada de la velocidad.

Si derivar nos lleva de posición a velocidad y de velocidad a aceleración, entonces integrar hace el camino contrario:

\[ a \xrightarrow{\text{integrar}} v \xrightarrow{\text{integrar}} x \]

Error frecuente

Un error habitual es memorizar las ecuaciones del movimiento sin entender de dónde salen. En realidad, todas estas fórmulas nacen de dos definiciones sencillas:

\[ v=\frac{dx}{dt} \]

\[ a=\frac{dv}{dt} \]

Al integrar estas expresiones, aparecen las ecuaciones fundamentales de la cinemática.

Conclusión

Integrar sirve para recuperar una magnitud a partir de su tasa de cambio. En cinemática, esto significa que podemos recuperar la velocidad a partir de la aceleración, y la posición a partir de la velocidad.

Por eso el cálculo integral no es una herramienta aislada de las matemáticas. Es una herramienta esencial para construir modelos físicos y comprender el movimiento.

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