Suma de potencias con la misma base

Matemáticas con Juan

Simplificar una suma de potencias sin calculadora

En esta entrada vamos a simplificar una expresión con potencias de base 7. El objetivo no es hacer cuentas enormes, sino reconocer estructuras, usar propiedades y sacar factor común.

Índice de la explicación

El ejercicio

Queremos calcular:

\[ 7^5+7^4+7^3+7^2+7 \]

Una opción sería calcular cada potencia por separado. Pero eso sería trabajar de forma bastante pesada. Aquí vamos a hacerlo de una manera más elegante.

Objetivo: no usar calculadora, sino propiedades de las potencias y factor común.

La propiedad clave

Vamos a usar esta propiedad de las potencias:

\[ a^{b+c}=a^b\cdot a^c \]

Esta propiedad nos permite romper una potencia en factores más pequeños. Esa idea es muy importante en matemáticas: transformar algo grande en piezas más sencillas.

Primeras transformaciones

Empezamos escribiendo \(7^5\) como \(7\cdot 7^4\):

\[ 7^5=7^{1+4}=7\cdot 7^4 \]

También escribimos \(7^3\) como \(7\cdot 7^2\):

\[ 7^3=7^{1+2}=7\cdot 7^2 \]

Entonces:

\[ 7^5+7^4+7^3+7^2+7 = 7\cdot 7^4+7^4+7\cdot 7^2+7^2+7 \]

Sacamos factor común

En los dos primeros términos aparece \(7^4\):

\[ 7\cdot 7^4+7^4=7^4(7+1) \]

En los dos términos siguientes aparece \(7^2\):

\[ 7\cdot 7^2+7^2=7^2(7+1) \]

Por tanto:

\[ 7^5+7^4+7^3+7^2+7 = 7^4(7+1)+7^2(7+1)+7 \]

Como \(7+1=8\), queda:

\[ 7^4\cdot 8+7^2\cdot 8+7 \]

Volvemos a simplificar

Ahora escribimos \(7^4\) como \(7^2\cdot 7^2\):

\[ 7^4=7^2\cdot 7^2 \]

Entonces:

\[ 7^4\cdot 8+7^2\cdot 8+7 = 7^2\cdot 7^2\cdot 8+7^2\cdot 8+7 \]

En los dos primeros términos aparece \(7^2\cdot 8\) como factor común:

\[ 7^2\cdot 7^2\cdot 8+7^2\cdot 8 = 7^2\cdot 8(7^2+1) \]

Así que la expresión queda:

\[ 7^2\cdot 8(7^2+1)+7 \]

Cálculo final

Como \(7^2=49\), tenemos:

\[ 49\cdot 8(49+1)+7 \]

Es decir:

\[ 49\cdot 8\cdot 50+7 \]

Para hacerlo más cómodo, escribimos:

\[ 49=50-1 \]

Entonces:

\[ 49\cdot 8\cdot 50+7 = (50-1)\cdot 8\cdot 50+7 \]

Como \(8\cdot 50=400\), queda:

\[ (50-1)\cdot 400+7 \]

Finalmente:

\[ 50\cdot 400-400+7=20000-400+7=19607 \]

\[ \boxed{19607} \]

Resumen del método

No calcules todo desde el principio

Antes de multiplicar sin pensar, mira si hay una estructura común.

Usa propiedades de las potencias

La propiedad \(a^{b+c}=a^b\cdot a^c\) permite descomponer términos.

Saca factor común

El factor común convierte sumas complicadas en productos más simples.

Calcula al final

Primero simplificamos la estructura. Después hacemos las cuentas.

Conclusión

Este ejercicio no trata solo de obtener un número. Trata de aprender una manera de pensar: descomponer, transformar, agrupar y simplificar.

Resultado final:

\[ 7^5+7^4+7^3+7^2+7=19607 \]

En matemáticas, muchas veces la belleza aparece cuando dejamos de picar piedra y empezamos a ver la estructura escondida.

Clase de cómo sumar potencias en formato vídeo

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