Simplificar fracción con potencias

Matemáticas con Juan

Simplificar una fracción con potencias sin calcularlo todo

En esta entrada resolvemos una fracción con potencias de base 2. El objetivo no es calcularlo todo de forma mecánica, sino reconocer una estructura común y simplificar de manera inteligente.

Índice de la explicación

El ejercicio

Queremos simplificar la siguiente expresión:

\[ \frac{2^4-2^3}{2^5+2^3} \]

Podríamos calcular cada potencia por separado. Es decir, podríamos calcular \(2^4\), \(2^3\), \(2^5\), después restar, sumar y dividir.

Pero en este ejercicio hay una forma más elegante.

La idea clave

La propiedad que vamos a utilizar es:

\[ a^{b+d}=a^b\cdot a^d \]

Esta propiedad permite descomponer potencias para que aparezca un mismo factor común.

Idea importante: cuando varias potencias tienen la misma base, muchas veces conviene escribirlas de forma que compartan una potencia común.

Reescribimos las potencias

Primero observamos que:

\[ 2^4=2^{1+3}=2^1\cdot 2^3=2\cdot 2^3 \]

Y también:

\[ 2^5=2^{2+3}=2^2\cdot 2^3=4\cdot 2^3 \]

Esto es útil porque ahora aparece \(2^3\) en todas las partes de la fracción.

Sustituimos en la fracción

La fracción original era:

\[ \frac{2^4-2^3}{2^5+2^3} \]

Sustituimos \(2^4\) por \(2\cdot 2^3\), y \(2^5\) por \(4\cdot 2^3\):

\[ \frac{2\cdot 2^3-2^3}{4\cdot 2^3+2^3} \]

Si queremos verlo de forma todavía más clara, podemos escribir:

\[ \frac{2\cdot 2^3-1\cdot 2^3}{4\cdot 2^3+1\cdot 2^3} \]

Sacamos factor común

En el numerador tenemos:

\[ 2\cdot 2^3-1\cdot 2^3 \]

El factor común es \(2^3\), así que:

\[ 2\cdot 2^3-1\cdot 2^3=(2-1)\cdot 2^3 \]

En el denominador tenemos:

\[ 4\cdot 2^3+1\cdot 2^3 \]

También sacamos \(2^3\) como factor común:

\[ 4\cdot 2^3+1\cdot 2^3=(4+1)\cdot 2^3 \]

La simplificación final

Por tanto:

\[ \frac{2^4-2^3}{2^5+2^3} = \frac{(2-1)\cdot 2^3}{(4+1)\cdot 2^3} \]

Ahora podemos simplificar \(2^3\), porque aparece multiplicando en el numerador y en el denominador:

\[ \frac{(2-1)\cdot 2^3}{(4+1)\cdot 2^3} = \frac{2-1}{4+1} \]

Calculamos:

\[ \frac{2-1}{4+1}=\frac{1}{5} \]

\[ \boxed{\frac{1}{5}} \]

Resumen del método

Busca una potencia común

En este caso, todas las potencias se pueden relacionar con \(2^3\).

Reescribe las potencias grandes

Escribimos \(2^4\) como \(2\cdot 2^3\), y \(2^5\) como \(4\cdot 2^3\).

Saca factor común

En el numerador y en el denominador aparece \(2^3\).

Simplifica

Al simplificar \(2^3\), queda una fracción mucho más sencilla.

Conclusión

El ejercicio:

\[ \frac{2^4-2^3}{2^5+2^3} \]

no necesita resolverse calculando todas las potencias desde el principio. La forma más inteligente consiste en reconocer el factor común \(2^3\).

Resultado final:

\[ \frac{2^4-2^3}{2^5+2^3}=\frac{1}{5} \]

Ejercicio resuelto en formato vídeo

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