Raíz cuadrada de un número negativo al cuadrado

Matemáticas con Juan

El error peligroso con las raíces cuadradas

En esta entrada vamos a resolver un ejercicio muy corto, pero muy peligroso: una raíz cuadrada aplicada a una expresión elevada al cuadrado. Parece fácil. Precisamente por eso tantos estudiantes se equivocan.

Índice de la explicación

El ejercicio

Queremos calcular:

\[ \sqrt{(1-6)^2} \]

A primera vista puede parecer que la raíz cuadrada y el cuadrado se eliminan automáticamente. Pero hay que tener mucho cuidado.

El error más frecuente

Muchos estudiantes razonan así:

\[ \sqrt{(1-6)^2}=1-6=-5 \]

Esto es incorrecto. El resultado de una raíz cuadrada principal no puede ser negativo.

El problema está en pensar que la raíz cuadrada y el cuadrado se cancelan siempre sin mirar qué ocurre con el signo.

La idea clave

La idea importante es esta:

\[ \sqrt{x^2}=|x| \]

Es decir, la raíz cuadrada de una cantidad elevada al cuadrado no devuelve necesariamente la cantidad original. Devuelve su valor absoluto.

Idea esencial: si \(x\) es negativo, entonces \(x^2\) es positivo. Y la raíz cuadrada principal de un número positivo es positiva.

Resolución correcta paso a paso

Primero calculamos lo que hay dentro del paréntesis

\[ 1-6=-5 \]

Ahora elevamos al cuadrado

\[ (-5)^2=25 \]

Recordemos que:

\[ (-5)^2=(-5)(-5)=25 \]

Finalmente hacemos la raíz cuadrada

\[ \sqrt{25}=5 \]

\[ \boxed{\sqrt{(1-6)^2}=5} \]

La forma más elegante

También podemos resolverlo usando directamente la propiedad:

\[ \sqrt{x^2}=|x| \]

En nuestro caso:

\[ \sqrt{(1-6)^2}=|1-6| \]

Como:

\[ 1-6=-5 \]

Entonces:

\[ |1-6|=|-5|=5 \]

\[ \boxed{5} \]

¿Entonces la raíz cuadrada de 25 no es ±5?

Aquí aparece una confusión muy habitual.

No es lo mismo decir:

\[ \sqrt{25}=5 \]

que resolver:

\[ x^2=25 \]

La expresión \(\sqrt{25}\) representa la raíz cuadrada principal de 25. Por eso:

\[ \sqrt{25}=5 \]

En cambio, si resolvemos la ecuación:

\[ x^2=25 \]

entonces buscamos todos los números cuyo cuadrado es 25. Esos números son:

\[ x=5 \qquad \text{y} \qquad x=-5 \]

Raíz cuadrada y raíces cuadradas

Expresión	Significado	Resultado
\(\sqrt{25}\)	Raíz cuadrada principal de 25	\(5\)
\(x^2=25\)	Números cuyo cuadrado vale 25	\(x=5\) y \(x=-5\)

Conclusión: la raíz cuadrada principal de 25 es \(5\). Las soluciones de la ecuación \(x^2=25\) son \(5\) y \(-5\).

Resumen final

El error consiste en escribir:

\[ \sqrt{(1-6)^2}=1-6=-5 \]

Pero lo correcto es:

\[ \sqrt{(1-6)^2}=|1-6|=|-5|=5 \]

Qué debes recordar siempre:

\[ \sqrt{x^2}=|x| \]

Esta fórmula evita uno de los errores más frecuentes con raíces cuadradas.

Ejercicio resuelto en formato vídeo

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