Calcular el radio de la circunferencia

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Hallar el radio \(R\) de una circunferencia con segmentos de 8 cm y 16 cm

En este ejercicio vamos a resolver un problema de geometría muy elegante. Tenemos una circunferencia, un segmento horizontal de \(16\text{ cm}\), un segmento vertical de \(8\text{ cm}\) y queremos hallar el radio \(R\).

Es uno de esos problemas que se entienden enseguida, pero que obligan a mirar la figura con atención. La clave no está en hacer muchas cuentas, sino en descubrir la relación geométrica escondida.

La idea fundamental será usar triángulos semejantes.

8 16 R x
La distancia \(x\) es la parte que falta para completar el diámetro.

Enunciado del problema

En una circunferencia aparece un segmento horizontal de \(16\text{ cm}\) y un segmento vertical de \(8\text{ cm}\), formando un ángulo recto.

Se pide hallar el radio de la circunferencia:

\[ R \]

Cuidado: el segmento de \(16\text{ cm}\) no es todo el diámetro. Es solo una parte. Por eso el problema tiene más interés.

Idea clave del ejercicio

La clave consiste en llamar \(x\) a la parte del diámetro que falta.

Después observamos que dentro de la circunferencia aparecen dos triángulos rectángulos semejantes. Esa semejanza nos permitirá calcular \(x\).

Una vez conocido \(x\), tendremos el diámetro completo y podremos hallar el radio.

Solución paso a paso

Paso 1 Llamamos \(x\) a la parte desconocida

El segmento horizontal de \(16\text{ cm}\) no completa todo el diámetro. Falta una parte, que llamamos \(x\).

Por tanto, el diámetro completo será:

\[ d=16+x \]

Paso 2 Detectamos dos triángulos semejantes

En la figura aparecen dos triángulos rectángulos. Uno de ellos tiene catetos \(8\) y \(16\). El otro tiene catetos \(x\) y \(8\).

Son semejantes porque tienen un ángulo recto y además aparecen ángulos inscritos que están asociados al mismo arco de la circunferencia. Por tanto, tienen la misma forma.

Al ser semejantes, sus lados correspondientes guardan proporción.

Paso 3 Planteamos la proporción

La relación entre los lados correspondientes es:

\[ \frac{x}{8}=\frac{8}{16} \]

Ahora despejamos \(x\).

\[ x=8\cdot \frac{8}{16} \]
\[ x=\frac{64}{16} \]
\[ x=4 \]

Luego:

\[ x=4\text{ cm} \]

Paso 4 Calculamos el diámetro

Ya sabemos que el diámetro era:

\[ d=16+x \]

Sustituimos \(x=4\):

\[ d=16+4 \]
\[ d=20\text{ cm} \]

Paso 5 Hallamos el radio

El radio es la mitad del diámetro:

\[ R=\frac{d}{2} \]

Como \(d=20\text{ cm}\), resulta:

\[ R=\frac{20}{2} \]
\[ R=10\text{ cm} \]

Resultado final

El radio de la circunferencia es:

\[ \boxed{R=10\text{ cm}} \]

Resumen rápido

  1. El segmento de \(16\text{ cm}\) no es todo el diámetro.
  2. Llamamos \(x\) a la parte que falta.
  3. Aparecen dos triángulos semejantes.
  4. Planteamos la proporción \(\frac{x}{8}=\frac{8}{16}\).
  5. Obtenemos \(x=4\text{ cm}\).
  6. El diámetro completo es \(16+4=20\text{ cm}\).
  7. El radio es la mitad: \(R=10\text{ cm}\).

Error común

El error más frecuente es pensar que \(16\text{ cm}\) es directamente el diámetro. Si se hiciera eso, se obtendría \(R=8\text{ cm}\), pero sería incorrecto.

La figura muestra que el diámetro completo tiene una parte adicional \(x\).

\[ d=16+x \]

Ejercicio propuesto

Ahora intenta resolver uno parecido.

En una circunferencia aparece una configuración semejante. El segmento horizontal mide \(18\text{ cm}\) y el segmento vertical mide \(6\text{ cm}\). La parte desconocida del diámetro es \(x\).

La proporción que aparece es:

\[ \frac{x}{6}=\frac{6}{18} \]

Calcula:

  • el valor de \(x\);
  • el diámetro completo;
  • el radio de la circunferencia.

Conclusión

Este problema muestra muy bien una idea importante de la geometría: a veces el dato decisivo no está escrito como una fórmula, sino escondido en la figura.

Aquí la observación clave fue descubrir triángulos semejantes dentro de la circunferencia. A partir de ahí, el cálculo fue muy sencillo:

\[ \boxed{R=10\text{ cm}} \]

Material preparado para Matemáticas con Juan.

Ejercicio resuelto en formato vídeo

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