Inversa de una Matriz 3x3

Ejercicio: Cálculo de la Inversa de una Matriz 3×3

Enunciado del Problema

Calcular la inversa de la siguiente matriz \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]

Planteamiento y Resolución

Para una matriz \( 3 \times 3 \), la inversa se obtiene mediante la fórmula: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \, \text{adj}(A), \] donde \(\det A\) es el determinante de la matriz y \(\text{adj}(A)\) es la matriz adjunta (la transpuesta de la matriz de cofactores).

Paso 1: Calcular el Determinante \(\det A\)

Para la matriz dada, \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}, \] el determinante se calcula por: \[ \det A = 1 \cdot (1\cdot 0 - 4\cdot6) - 2 \cdot (0\cdot 0 - 4\cdot5) + 3 \cdot (0\cdot6 - 1\cdot5). \] Realizando las operaciones:
\(\det A = 1\,(0-24) - 2\,(0-20) + 3\,(0-5) = -24 + 40 -15 = 1.\)

Paso 2: Calcular la Matriz de Cofactores

Sea \( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \). Para cada elemento \( a_{ij} \) calculamos el cofactor \( C_{ij} \) como: \[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}, \] donde \( M_{ij} \) es el menor obtenido al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\). Cálculos:
Para \( a_{11} \): \[ M_{11} = \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 - 4 \cdot 6 = -24, \quad C_{11} = (-1)^{2}(-24) = -24. \]
Para \( a_{12} \): \[ M_{12} = \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 - 4 \cdot 5 = -20, \quad C_{12} = (-1)^{1+2}(-20) = 20. \]
Para \( a_{13} \): \[ M_{13} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 - 1 \cdot 5 = -5, \quad C_{13} = (-1)^{1+3}(-5) = -5. \]
Para \( a_{21} \): \[ M_{21} = \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 6 = -18, \quad C_{21} = (-1)^{2+1}(-18) = 18. \]
Para \( a_{22} \): \[ M_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 - 3 \cdot 5 = -15, \quad C_{22} = (-1)^{2+2}(-15) = -15. \]
Para \( a_{23} \): \[ M_{23} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot 6 - 2 \cdot 5 = 6-10 = -4, \quad C_{23} = (-1)^{2+3}(-4) = 4. \]
Para \( a_{31} \): \[ M_{31} = \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = 8-3 = 5, \quad C_{31} = (-1)^{3+1}(5) = 5. \]
Para \( a_{32} \): \[ M_{32} = \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 0 = 4, \quad C_{32} = (-1)^{3+2}(4) = -4. \]
Para \( a_{33} \): \[ M_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 1, \quad C_{33} = (-1)^{3+3}(1) = 1. \]

Paso 3: Calcular la Matriz Adjunta

La matriz de cofactores obtenida es: \[ C = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}. \] La matriz adjunta es la transpuesta de \( C \): \[ \text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}. \]

Paso 4: Obtener la Inversa

Dado que \(\det A = 1\), la inversa es: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\text{adj}(A) = \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}. \]

Tabla Resumen de Pasos

Cálculo de la Inversa de \( A \)

Paso	Operación	Resultado
1	Calcular \(\det A\)	\(\det A = 1\)
2	Obtener cada cofactor \(C_{ij}\)	\(C_{11}=-24\), \(C_{12}=20\), \(C_{13}=-5\) \(C_{21}=18\), \(C_{22}=-15\), \(C_{23}=4\) \(C_{31}=5\), \(C_{32}=-4\), \(C_{33}=1\)
3	Calcular la matriz adjunta \( \text{adj}(A) = C^T \)	\(\text{adj}(A)= \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
4	Obtener la inversa \( A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\text{adj}(A) \)	\( A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)

Respuesta Final

La matriz inversa de \( A \) es: \[ \boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}} \]