Trenes que se cruzan

Problema de trenes

Dos trenes viajan en direcciones opuestas sobre una misma vía que une dos estaciones separadas por una distancia de 320 km. El tren A parte de la Estación A a las 09:00 con una velocidad constante de 80 km/h, mientras que el tren B parte de la Estación B a las 09:30 con una velocidad constante de 120 km/h. Suponiendo que ambos trenes se desplazan sin interrupciones y en línea recta, determinar la hora a la que se cruzan.

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Solución detallada

1. Datos del problema

• Distancia entre las estaciones: $$D = 320 \ \text{km}.$$
• Velocidad del tren A: $$v_A = 80 \ \text{km/h}.$$
• Velocidad del tren B: $$v_B = 120 \ \text{km/h}.$$
• Hora de salida del tren A: 09:00.
• Hora de salida del tren B: 09:30.

2. Planteamiento del sistema

Sea \(t\) el tiempo (en horas) medido a partir de las 09:00, es decir, \(t=0\) corresponde a las 09:00. Entonces, el tren A viaja durante \(t\) horas, y el tren B viaja durante \(t - 0.5\) horas (ya que parte 0.5 horas después).

El tren A recorre una distancia:

$$ d_A = v_A \, t = 80\,t. $$

El tren B recorre una distancia (desde la Estación B, en dirección opuesta):

$$ d_B = v_B \, (t-0.5) = 120\,(t-0.5). $$

Como los trenes se dirigen uno hacia el otro, cuando se cruzan, la suma de las distancias recorridas es igual a la distancia total:

$$ 80\,t + 120\,(t-0.5) = 320. $$

3. Resolución de la ecuación

Desarrollemos la ecuación:

$$ 80\,t + 120t - 60 = 320. $$

Simplificando:

$$ 200t - 60 = 320. $$

Añadimos 60 a ambos lados:

$$ 200t = 380. $$

Dividimos ambos lados entre 200:

$$ t = \frac{380}{200} = 1.9 \ \text{horas}. $$

4. Conversión a hora convencional

Dado que \(t=1.9\) horas a partir de las 09:00, calculemos la hora exacta:

• La parte entera es 1 hora, lo que nos lleva a las 10:00.
• La parte decimal es 0.9 horas, que equivale a \(0.9 \times 60 = 54\) minutos.

Por lo tanto, los trenes se cruzan a las 10:54.

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5. Conclusión

El tren A, que parte a las 09:00 y viaja a 80 km/h, y el tren B, que parte a las 09:30 y viaja a 120 km/h, se cruzan a las 10:54 (medido en el Sistema Internacional). Esta solución se obtiene al plantear la ecuación de la suma de las distancias recorridas y resolverla paso a paso.

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