Demostración de la fórmula de Euler

Ejercicio: Demostrar detalladamente que \[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \] utilizando la expansión en serie de Taylor de \(e^{i\theta}\), escribiendo de forma explícita los primeros 6 términos.

La fórmula de Euler conecta la función exponencial compleja con las funciones trigonométricas. A continuación, se muestra la deducción paso a paso.

Deducción de la Fórmula de Euler (Términos Explícitos)

Paso 1: Expansión en Serie de Taylor de \(e^{i\theta}\)

La función exponencial se puede expresar mediante la serie de Taylor: \[ e^{i\theta} = 1 + \frac{(i\theta)}{1!} + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \cdots \]

Paso 2: Calcular cada término explícitamente

Término 0: \( \displaystyle 1 \)

Término 1: \( \displaystyle \frac{(i\theta)}{1!} = i\theta \)

Término 2: \( \displaystyle \frac{(i\theta)^2}{2!} = \frac{i^2\,\theta^2}{2} = -\frac{\theta^2}{2} \)

Término 3: \( \displaystyle \frac{(i\theta)^3}{3!} = \frac{i^3\,\theta^3}{6} = -\frac{i\,\theta^3}{6} \)

Término 4: \( \displaystyle \frac{(i\theta)^4}{4!} = \frac{i^4\,\theta^4}{24} = \frac{\theta^4}{24} \)

Término 5: \( \displaystyle \frac{(i\theta)^5}{5!} = \frac{i^5\,\theta^5}{120} = \frac{i\,\theta^5}{120} \)

Paso 3: Agrupar los términos en partes reales e imaginarias

La serie se agrupa en:

Parte real: \[ 1 - \frac{\theta^2}{2} + \frac{\theta^4}{24} + \cdots \]

Parte imaginaria: \[ i\theta - \frac{i\,\theta^3}{6} + \frac{i\,\theta^5}{120} + \cdots \] Es decir, \[ e^{i\theta} \approx \left(1 - \frac{\theta^2}{2} + \frac{\theta^4}{24}\right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120}\right). \]

Paso 4: Reconocer las Series de \( \cos(\theta) \) y \( \sin(\theta) \)

La serie de Taylor para el coseno es: \[ \cos(\theta) = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} + \frac{\theta^4}{24}, \] y para el seno es: \[ \sin(\theta) = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \approx \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120}. \] Por lo tanto, la expansión que obtuvimos se puede escribir como: \[ e^{i\theta} \approx \cos(\theta) + i\sin(\theta). \]

Resultado Final

\(\boxed{e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)}\)