Rotación de un Punto en Coordenadas Rectangulares

el
Transformación de Coordenadas: Rotación de un Punto

Transformación de Coordenadas: Rotación de un Punto

Enunciado del Problema

Dado el punto en coordenadas rectangulares:

  • \( P(x, y) = (2,\, 2\sqrt{3}) \)

Realiza las siguientes operaciones:

  1. Convierte \( P \) a coordenadas polares \((r, \theta)\).
  2. Rota el punto \( P \) en \( 60^\circ \) (sentido antihorario), obteniendo un nuevo ángulo \( \theta' \).
  3. Convierte el resultado de vuelta a coordenadas rectangulares \( (x', y') \).

Objetivo: Obtener las coordenadas del punto rotado en forma rectangular.

Planteamiento y Resolución

Paso 1: Conversión a Coordenadas Polares

  • Calcular el radio \( r \): \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + \left(2\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \]
  • Calcular el ángulo \( \theta \): \[ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right) = \arctan\left(\sqrt{3}\right) = \frac{\pi}{3} \]

Paso 2: Aplicar la Rotación

  • La rotación en \( 60^\circ \) equivale a \( \frac{\pi}{3} \) radianes.
  • Sumar el ángulo de rotación: \[ \theta' = \theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \]

Paso 3: Conversión a Coordenadas Rectangulares del Punto Rotado

  • Utilizando el radio \( r = 4 \) y el ángulo \( \theta' = \frac{2\pi}{3} \):
  • Calcular la componente \( x' \): \[ x' = r \cos\theta' = 4 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \]
  • Calcular la componente \( y' \): \[ y' = r \sin\theta' = 4 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]

Tabla de Razonamiento:

Pasos de la Transformación
Paso Ecuación o Razonamiento Resultado
1. Calcular \( r \) \( r = \sqrt{2^2 + \left(2\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{4 + 12} \) \( r = 4 \)
2. Calcular \( \theta \) \( \theta = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right) = \arctan\left(\sqrt{3}\right) \) \( \theta = \frac{\pi}{3} \)
3. Aplicar la rotación \( \theta' = \theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \) \( \theta' = \frac{2\pi}{3} \)
4. Calcular \( x' \) \( x' = 4\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \) \( x' = 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \)
5. Calcular \( y' \) \( y' = 4\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \) \( y' = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \)

Respuesta Final:

  • Las coordenadas del punto rotado son: \( (x', y') = (-2,\, 2\sqrt{3}) \)

Comentarios

Publicar un comentario