Punto de Coordenadas Rectangulares a Polares

Conversión de Coordenadas Rectangulares a Polares

Enunciado del Problema

Convierte el siguiente punto de coordenadas rectangulares a coordenadas polares:

• \( (x, y) = \bigl(3,\, -3\sqrt{3}\,\bigr) \)

Objetivo: Determinar los valores de \( r \) y \( \theta \) tales que el punto se exprese como: \[ (r, \theta) \]

Planteamiento y Resolución

Definiciones y Fórmulas Básicas:

• La distancia \( r \) se calcula por: \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]
• El ángulo \( \theta \) se determina a partir de: \[ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]

Tabla de Razonamiento:

Pasos para la Conversión

Paso	Ecuación o Razonamiento	Resultado / Observación
1. Determinar \( r \)	Utilizamos \( x = 3 \) y \( y = -3\sqrt{3} \): \[ r = \sqrt{3^2 + (-3\sqrt{3})^2} \]	\( r = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \)
2. Calcular \( \theta \)	Se usa la fórmula: \[ \theta = \arctan\left(\frac{-3\sqrt{3}}{3}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) \]	\(\theta = -\frac{\pi}{3}\) (ó alternativamente, \( \theta = \frac{5\pi}{3} \) para expresarlo en el intervalo \( [0,2\pi) \))
3. Seleccionar la Notación	Dado que \( x > 0 \) y \( y < 0 \), el punto se encuentra en el IV° cuadrante.	Es común usar \( \theta = -\frac{\pi}{3} \) o \( \theta = \frac{5\pi}{3} \).

Por lo tanto, las coordenadas polares del punto son:

• \( (r, \theta) = (6, -\frac{\pi}{3}) \)
• ó, equivalentemente, \( (6, \frac{5\pi}{3}) \)