Problemas de dígitos

Resolución del Problema: Número de Dos Dígitos

Enunciado

Encuentra un número de dos dígitos que cumpla las siguientes condiciones:
1. La suma de sus dígitos es 9.
2. Al invertir los dígitos se forma un número que es 27 menor que el número original.

1. Planteamiento del problema

Representamos el número como \( 10A + B \), donde:
- \( A \) es la cifra de las decenas, y
- \( B \) es la cifra de las unidades.

2. Condiciones del problema

El número debe satisfacer:

• La suma de sus dígitos: \[ A + B = 9. \]
• Al invertir los dígitos se forma el número \( 10B + A \), y se tiene: \[ (10A + B) - (10B + A) = 27. \]

3. Desarrollo

Simplificamos la segunda condición: \[ (10A + B) - (10B + A) = 10A + B - 10B - A = 9A - 9B = 27. \] Dividiendo ambos lados entre 9: \[ A - B = 3. \] Ahora tenemos el sistema: \[ \begin{cases} A + B = 9, \\ A - B = 3. \end{cases} \]

4. Resolución del sistema

Sumamos las dos ecuaciones: \[ (A + B) + (A - B) = 9 + 3 \quad \Longrightarrow \quad 2A = 12 \quad \Longrightarrow \quad A = 6. \] Sustituyendo \( A = 6 \) en \( A + B = 9 \): \[ 6 + B = 9 \quad \Longrightarrow \quad B = 3. \]

5. Conclusión

\[ \boxed{10A + B = 63} \]

Por lo tanto, el número buscado es 63.

Resolución del Problema: Número de Tres Dígitos

Enunciado

Encuentra un número de tres dígitos que cumpla las siguientes condiciones:
1. La cifra de las centenas es el doble de la cifra de las unidades.
2. La suma de sus cifras es 12.
3. Al invertir el orden de sus cifras se obtiene un número que es 198 menor que el original.

1. Planteamiento del problema

Representamos el número como \( 100A + 10B + C \), donde:
- \( A \) es la cifra de las centenas,
- \( B \) es la cifra de las decenas, y
- \( C \) es la cifra de las unidades.

2. Condiciones del problema

El número debe satisfacer:

• La cifra de las centenas es el doble de la cifra de las unidades: \[ A = 2C. \]
• La suma de las cifras: \[ A + B + C = 12. \]
• Al invertir los dígitos se forma el número \( 100C + 10B + A \), y se tiene: \[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 198. \]

3. Desarrollo

Simplificamos la tercera condición: \[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 100A + C - 100C - A = 99A - 99C = 198. \] Dividimos entre 99: \[ A - C = 2. \] Ahora, tenemos dos relaciones: \[ \begin{cases} A = 2C, \\ A - C = 2. \end{cases} \]

4. Resolución del sistema

Sustituimos \( A = 2C \) en \( A - C = 2 \): \[ 2C - C = 2 \quad \Longrightarrow \quad C = 2. \] Luego, se obtiene: \[ A = 2 \times 2 = 4. \] Finalmente, usando la suma de las cifras: \[ A + B + C = 12 \quad \Longrightarrow \quad 4 + B + 2 = 12 \quad \Longrightarrow \quad B = 6. \]

5. Conclusión

\[ \boxed{100A + 10B + C = 462} \]

Por lo tanto, el número que cumple todas las condiciones es 462.