Problema de minimizar una superficie

Diseñando una Lata Óptima. Cálculo diferencial

1. Planteamiento del Problema

Se desea fabricar una lata cilíndrica con tapas que contenga \( 1000 \, \text{cm}^3 \) de líquido. ¿Qué dimensiones (radio \( r \) y altura \( h \)) minimizan la cantidad de material utilizado (superficie total)?

2. Modelado Matemático

- Volumen fijo: \[ V = \pi r^2 h = 1000 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{1000}{\pi r^2}. \] - Superficie total (área a minimizar): \[ S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}. \]

3. Aplicación del Cálculo Diferencial

Paso 1: Derivar \( S(r) \) respecto a \( r \): \[ S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2}. \] Paso 2: Igualar a cero para encontrar puntos críticos: \[ 4\pi r = \frac{2000}{r^2} \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{500}{\pi} \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5.42 \, \text{cm}. \] Paso 3: Calcular \( h \): \[ h = \frac{1000}{\pi (5.42)^2} \approx 10.84 \, \text{cm}. \]

4. Verificación del Mínimo

Segunda derivada: \[ S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3}. \] Evaluando en \( r \approx 5.42 \): \[ S''(5.42) > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Mínimo absoluto}. \]

5. Resultado Final

\[ \boxed{r \approx 5.42 \, \text{cm}, \quad h \approx 10.84 \, \text{cm}} \]

Relación óptima: \( h = 2r \). Esto revela que, para minimizar material, la altura debe ser el doble del radio. Un resultado elegante que solo el cálculo diferencial puede desentrañar. 💡