Minimizar la cantidad de valla para cercar una piscina

Diseñando una Piscina Económica. Cálculo Diferencial

1. Planteamiento del Problema

Se desea construir una piscina rectangular con un área de \( 50 \, \text{m}^2 \) que está contigua a una casa, de manera que uno de sus lados no requiere valla. ¿Qué dimensiones (base \( x \) y altura \( y \)) minimizan la cantidad de valla necesaria para cercar los otros tres lados?

2. Modelado Matemático

- Área fija: \[ A = x \cdot y = 50 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{50}{x}. \] - Longitud de valla a minimizar: \[ L(x) = x + 2y = x + 2\left(\frac{50}{x}\right) = x + \frac{100}{x}. \]

3. Aplicación del Cálculo Diferencial

Paso 1: Derivar \( L(x) \) respecto a \( x \): \[ L'(x) = 1 - \frac{100}{x^2}. \] Paso 2: Igualar la derivada a cero para encontrar puntos críticos: \[ 1 - \frac{100}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \, \text{m} \quad (\text{ya que } x>0). \] Paso 3: Calcular \( y \) usando la relación del área: \[ y = \frac{50}{10} = 5 \, \text{m}. \]

4. Verificación del Mínimo

Segunda derivada: \[ L''(x) = \frac{200}{x^3}. \] Evaluando en \( x = 10 \): \[ L''(10) = \frac{200}{1000} = 0.2 > 0, \] lo que confirma que la solución corresponde a un mínimo.

5. Resultado Final

\[ \boxed{x = 10 \, \text{m}, \quad y = 5 \, \text{m}} \]

Conclusión: La piscina debe tener 10 m de largo y 5 m de ancho para minimizar la cantidad de valla necesaria, aprovechando el lado contiguo a la casa.