Minimización del Costo de un Gasoducto. Cálculo Diferencial
1. Planteamiento del Problema
Una refinería se encuentra en la orilla norte de un río de 1 km de ancho y se desea conectar con una planta de procesamiento situada en la orilla sur, a 3 km al este de la refinería.
El costo de instalar el gasoducto es $400,000 por km en tierra y $800,000 por km bajo el agua.
¿En qué punto de la orilla norte se debe iniciar el tramo subacuático para minimizar el costo total de construcción?
2. Modelado Matemático
Sea \( x \) (en km) la distancia que se recorre por tierra, desde la refinería hacia el este, hasta el punto \( P \) donde se inicia el cruce del río (la orilla norte se toma como el eje \( x \)).
El tramo subacuático conecta el punto \( P(x,0) \) con el punto \( Q(3,-1) \) (en la orilla sur). La distancia bajo el agua es:
\[
d(x) = \sqrt{(3-x)^2+1^2} = \sqrt{(3-x)^2+1}.
\]
El costo total es la suma del costo en tierra y el costo bajo el agua:
\[
C(x) = 400000\,x + 800000\,d(x) = 400000\,x + 800000\,\sqrt{(3-x)^2+1}.
\]
3. Aplicación del Cálculo Diferencial
Paso 1: Derivar la función costo \( C(x) \) con respecto a \( x \): \[ C'(x) = 400000 - 800000\,\frac{(3-x)}{\sqrt{(3-x)^2+1}}. \] Paso 2: Igualar \( C'(x) \) a cero para encontrar el punto crítico: \[ 400000 - 800000\,\frac{(3-x)}{\sqrt{(3-x)^2+1}} = 0. \] Despejamos: \[ \frac{(3-x)}{\sqrt{(3-x)^2+1}} = \frac{400000}{800000} = \frac{1}{2}. \] Paso 3: Resolver la ecuación: \[ \frac{(3-x)}{\sqrt{(3-x)^2+1}} = \frac{1}{2}. \] Multiplicamos ambos lados por \(\sqrt{(3-x)^2+1}\): \[ 3-x = \frac{1}{2}\sqrt{(3-x)^2+1}. \] Elevamos al cuadrado ambos lados: \[ (3-x)^2 = \frac{1}{4}\Big[(3-x)^2+1\Big]. \] Multiplicamos por 4: \[ 4(3-x)^2 = (3-x)^2+1. \] Restamos \((3-x)^2\) de ambos lados: \[ 3(3-x)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad (3-x)^2 = \frac{1}{3}. \] Tomando la raíz cuadrada: \[ 3-x = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad x = 3 - \frac{1}{\sqrt{3}}. \] Como \( x \) representa la distancia recorrida en tierra (y debe ser \( \leq 3 \) km), esta solución es válida.
4. Resultado Final
\[ \boxed{x = 3 - \frac{1}{\sqrt{3}} \, \text{km}} \]
Conclusión: Para minimizar el costo total de instalación del gasoducto, se debe construir el tramo terrestre hasta el punto que esté \( 3 - \frac{1}{\sqrt{3}} \) km al este de la refinería, y desde allí iniciar el cruce subacuático del río.
Comentarios
Publicar un comentario