Elipse en Forma Polar

Conversión de una Elipse a Forma Polar

Enunciado del Problema

Convierte la siguiente ecuación de una elipse en coordenadas rectangulares a su forma polar:

• \(\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)

Utiliza las relaciones:

• \( x = r \cos\theta \)
• \( y = r \sin\theta \)

Objetivo: Obtener la ecuación en forma polar.

Planteamiento y Resolución

Paso 1: Sustitución de las Coordenadas

Reemplazamos \(x\) e \(y\) por \( r\cos\theta \) y \( r\sin\theta \) en la ecuación: \[ \frac{(r\cos\theta)^2}{9} + \frac{(r\sin\theta)^2}{4} = 1. \]

Paso 2: Simplificar los Términos

Calculamos: \[ \frac{r^2\cos^2\theta}{9} + \frac{r^2\sin^2\theta}{4} = 1. \] Factorizando \(r^2\) obtenemos: \[ r^2\left(\frac{\cos^2\theta}{9} + \frac{\sin^2\theta}{4}\right) = 1. \]

Paso 3: Despejar \(r^2\) y \(r\)

Despejamos \( r^2 \): \[ r^2 = \frac{1}{\displaystyle \frac{\cos^2\theta}{9} + \frac{\sin^2\theta}{4}}. \] Por lo tanto, la ecuación en forma polar será: \[ r = \sqrt{\frac{1}{\displaystyle \frac{\cos^2\theta}{9} + \frac{\sin^2\theta}{4}}}. \]

Tabla de Razonamiento:

Pasos de la Conversión a Forma Polar

Paso	Ecuación o Razonamiento	Resultado
1	Sustitución: \( x = r\cos\theta \), \( y = r\sin\theta \) \(\displaystyle \frac{(r\cos\theta)^2}{9} + \frac{(r\sin\theta)^2}{4} = 1\)	\(\displaystyle \frac{r^2\cos^2\theta}{9} + \frac{r^2\sin^2\theta}{4} = 1\)
2	Factorizar \(r^2\): \(\displaystyle r^2\left(\frac{\cos^2\theta}{9} + \frac{\sin^2\theta}{4}\right) = 1\)	Ecuación factorizada.
3	Despejar \(r^2\): \(\displaystyle r^2 = \frac{1}{\frac{\cos^2\theta}{9} + \frac{\sin^2\theta}{4}}\)	\(r^2 = \dfrac{1}{\frac{\cos^2\theta}{9} + \frac{\sin^2\theta}{4}}\)
4	Tomamos la raíz cuadrada: \(\displaystyle r = \sqrt{\frac{1}{\frac{\cos^2\theta}{9} + \frac{\sin^2\theta}{4}}}\)	\(r = \sqrt{\frac{1}{\frac{\cos^2\theta}{9} + \frac{\sin^2\theta}{4}}}\)

Respuesta Final:

• La ecuación de la elipse en forma polar es: \( r = \sqrt{\frac{1}{\frac{\cos^2\theta}{9} + \frac{\sin^2\theta}{4}}} \)
• O, de manera equivalente: \[ r^2\left(\frac{\cos^2\theta}{9} + \frac{\sin^2\theta}{4}\right) = 1. \]