Resolver un triángulo rectángulo con área y perímetro
Problema:
Un triángulo rectángulo tiene:
- Área: 24 cm²
- Perímetro: 24 cm
¿Cuáles son las longitudes de sus lados?
Paso 1: Definimos las variables
Sean \(a\) y \(b\) los catetos, y \(c\) la hipotenusa.
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2}ab = 24 & \implies ab = 48 \\
a + b + c = 24 \\
a^2 + b^2 = c^2 & \text{(Teorema de Pitágoras)}
\end{cases}
\]
Paso 2: Sustituimos la hipotenusa
Del perímetro despejamos \(c\):
\[
c = 24 - a - b
\]
Sustituimos en Pitágoras:
\[
a^2 + b^2 = (24 - a - b)^2
\]
Desarrollamos el cuadrado:
\[
a^2 + b^2 = 576 - 48a - 48b + a^2 + 2ab + b^2
\]
Simplificamos:
\[
0 = 576 - 48a - 48b + 2ab
\]
Paso 3: Sustituimos \(ab = 48\)
\[
0 = 576 - 48(a + b) + 2(48) \\
48(a + b) = 672 \\
a + b = 14
\]
Paso 4: Sistema de ecuaciones
\[
\begin{cases}
a + b = 14 \\
ab = 48
\end{cases}
\]
Solución de la ecuación cuadrática:
\[
x^2 - 14x + 48 = 0 \\
x = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 48}}{2} \\
x = \frac{14 \pm 2}{2} \implies x_1 = 8,\ x_2 = 6
\]
Paso 5: Calculamos la hipotenusa
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10
\]
✅ Solución final
- Catetos: \(6\ \text{cm}\) y \(8\ \text{cm}\)
- Hipotenusa: \(10\ \text{cm}\)
Verificación
- Área: \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\ \text{cm}^2\) ✅
- Perímetro: \(6 + 8 + 10 = 24\ \text{cm}\) ✅
- Pitágoras: \(6^2 + 8^2 = 10^2 = 100\) ✅
Conclusión
El sistema se resolvió mediante métodos algebraicos tradicionales, obteniendo valores exactos que satisfacen todas las condiciones del problema. ¡Solución elegante y verificada!
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