Integral de secante cubo de x

Resolución Completa de \(\int \sec^3(x)dx\)

Paso 1: Configurar Integración por Partes

Sea:

\( u = \sec(x) \) ⇒ \( du = \sec(x)\tan(x)dx \)
\( dv = \sec^2(x)dx \) ⇒ \( v = \tan(x) \)

Aplicando \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\):

\[ \int \sec^3(x)dx = \sec(x)\tan(x) - \int \sec(x)\tan^2(x)dx \]

Paso 2: Simplificar con Identidad Trigonométrica

Usamos \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\):
\[ = \sec(x)\tan(x) - \int \sec(x)(\sec^2(x) - 1)dx \]

\[ = \sec(x)\tan(x) - \int \sec^3(x)dx + \int \sec(x)dx \]

Paso 3: Resolver \(\int \sec(x)dx\) (Detalle Completo)

\[ \int \sec(x)dx = \int \sec(x) \cdot \frac{\sec(x) + \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)}dx \]

Multiplicamos por el conjugado:

\[ = \int \frac{\sec^2(x) + \sec(x)\tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)}dx \]

Hacemos sustitución:

Sea \( w = \sec(x) + \tan(x) \)
\( dw = [\sec(x)\tan(x) + \sec^2(x)]dx \)

\[ = \int \frac{dw}{w} = \ln|w| + C = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \]

Paso 4: Combinar Resultados

Volviendo a nuestra ecuación original:

\[ \int \sec^3(x)dx = \sec(x)\tan(x) - \int \sec^3(x)dx + \ln|\sec(x) + \tan(x)| \]

Llamamos \( I = \int \sec^3(x)dx \):

\[ I = \sec(x)\tan(x) - I + \ln|\sec(x) + \tan(x)| \] \[ 2I = \sec(x)\tan(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| \]

\[ \boxed{\int \sec^3(x)dx = \frac{1}{2}\left(\sec(x)\tan(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)|\right) + C} \]