Integral de raíz cuadrada de x^2-1

Resolución paso a paso de la integral

Queremos calcular:

$$ \int \sqrt{x^2 - 1} \, dx $$

1. Sustitución trigonométrica

Como la raíz es de la forma \( \sqrt{x^2 - 1} \), usamos:

$$ x = \sec \theta \quad \Rightarrow \quad dx = \sec \theta \tan \theta \, d\theta $$

La integral se transforma en:

$$ \int \sqrt{\sec^2 \theta - 1} \cdot \sec \theta \tan \theta \, d\theta $$

Como \( \sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta \), se tiene:

$$ = \int \tan \theta \cdot \sec \theta \tan \theta \, d\theta = \int \sec \theta \tan^2 \theta \, d\theta $$

2. Aplicamos identidad trigonométrica

Usamos que \( \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \), y obtenemos:

$$ \int \sec \theta (\sec^2 \theta - 1) \, d\theta = \int \sec^3 \theta \, d\theta - \int \sec \theta \, d\theta $$

3. Calculamos \( \int \sec^3 \theta \, d\theta \)

Este es un resultado clásico que requiere integración por partes. Sea:

$$ I = \int \sec^3 \theta \, d\theta $$

Usamos integración por partes con:

• \( u = \sec \theta \), entonces \( du = \sec \theta \tan \theta \, d\theta \)
• \( dv = \sec^2 \theta \, d\theta \), entonces \( v = \tan \theta \)

Entonces:

$$ I = \sec \theta \tan \theta - \int \tan \theta \cdot \sec \theta \tan \theta \, d\theta $$

$$ = \sec \theta \tan \theta - \int \sec \theta \tan^2 \theta \, d\theta $$

Recordamos que \( \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \), entonces:

$$ I = \sec \theta \tan \theta - \int \sec \theta (\sec^2 \theta - 1) \, d\theta $$

$$ = \sec \theta \tan \theta - \int \sec^3 \theta \, d\theta + \int \sec \theta \, d\theta $$

Observamos que \( I = \int \sec^3 \theta \, d\theta \) aparece en ambos lados:

$$ I = \sec \theta \tan \theta - I + \int \sec \theta \, d\theta $$

Sumamos \( I \) a ambos lados:

$$ 2I = \sec \theta \tan \theta + \int \sec \theta \, d\theta $$

Y recordamos que:

$$ \int \sec \theta \, d\theta = \ln |\sec \theta + \tan \theta| $$

Entonces:

$$ I = \frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta + \frac{1}{2} \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C $$

4. Regresamos a la integral original

Tenemos:

$$ \int \sqrt{x^2 - 1} \, dx = \int \sec^3 \theta \, d\theta - \int \sec \theta \, d\theta $$

Insertamos los resultados:

$$ = \left( \frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta + \frac{1}{2} \ln|\sec \theta + \tan \theta| \right) - \ln|\sec \theta + \tan \theta| $$

$$ = \frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta - \frac{1}{2} \ln|\sec \theta + \tan \theta| + C $$

5. Volvemos a la variable original \( x \)

Como \( x = \sec \theta \), se deduce que:

• \( \sec \theta = x \)
• \( \tan \theta = \sqrt{x^2 - 1} \)

Entonces, el resultado final es:

$$ \boxed{ \int \sqrt{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} x \sqrt{x^2 - 1} - \frac{1}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 1} \right| + C } $$