Hallar el radio de una circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo
Datos del problema
- Hipotenusa (\( c \)): 10 cm
- Un cateto (\( b \)): 6 cm
- Otro cateto (\( a \)): ?
- Radio inscrito (\( r \)): Desconocido
Paso 1: Teorema de Pitágoras
Usamos la relación fundamental para triángulos rectángulos:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]Sustituyendo valores conocidos:
\[ a^2 + 6^2 = 10^2 \implies a^2 = 100 - 36 = 64 \implies a = 8\ \text{cm} \]Paso 2: Calcular el radio inscrito (opcional)
Si se desea hallar \( r \), usamos la fórmula:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]Sustituyendo:
\[ r = \frac{8 + 6 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2\ \text{cm} \]Esto explica por qué en el problema original \( r = 2\ \text{cm} \).
Demostración alternativa con área
El radio inscrito también se relaciona con el área (\( A \)) y el semiperímetro (\( s \)):
\[ r = \frac{A}{s} \quad \text{donde} \quad A = \frac{a \cdot b}{2}, \quad s = \frac{a + b + c}{2} \]Sustituyendo:
\[ A = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24\ \text{cm}^2, \quad s = \frac{8 + 6 + 10}{2} = 12\ \text{cm} \] \[ r = \frac{24}{12} = 2\ \text{cm} \]
Conclusiones
- El cateto desconocido mide 8 cm.
- El radio inscrito se deriva de los catetos y la hipotenusa, no es necesario conocerlo previamente.
- El Teorema de Pitágoras es suficiente para resolver el problema.
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