Suma de Términos de Serie Geométrica

Suma de fracciones y aplicación de series geométricas

En este ejercicio se suman las siguientes fracciones:
\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81}. \]

Observación

Se observa que cada denominador es una potencia de 3:
\[ 3=3^1,\quad 9=3^2,\quad 27=3^3,\quad 81=3^4. \] Por lo tanto, la suma se puede expresar como: \[ \frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}. \]

Método 1: Uso de un denominador común

Utilizando \(81\) como denominador común, convertimos cada fracción:

• \(\displaystyle \frac{1}{3}=\frac{27}{81}\) (multiplicamos numerador y denominador por 27)
• \(\displaystyle \frac{1}{9}=\frac{9}{81}\) (multiplicamos numerador y denominador por 9)
• \(\displaystyle \frac{1}{27}=\frac{3}{81}\) (multiplicamos numerador y denominador por 3)
• \(\displaystyle \frac{1}{81}=\frac{1}{81}\)

Sumando: \[ \frac{27}{81}+\frac{9}{81}+\frac{3}{81}+\frac{1}{81}= \frac{27+9+3+1}{81}=\frac{40}{81}. \]

Método 2: Suma utilizando la fórmula de la serie geométrica

Notamos que la suma es una serie geométrica finita, con:

• Primer término: \(a=\displaystyle \frac{1}{3}\)
• Razón: \(r=\displaystyle \frac{1}{3}\)
• Número de términos: \(n=4\)

La fórmula para la suma de una serie geométrica finita es: \[ S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}. \] Sustituyendo los valores: \[ S_4=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^4\right)} {1-\frac{1}{3}}. \]

Como \(\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{81}\), tenemos: \[ S_4=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{81}\right)} {\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{80}{81}} {\frac{2}{3}} = \frac{80}{243}\cdot\frac{3}{2} = \frac{240}{486} = \frac{40}{81}. \]

Resultado Final

La suma de las fracciones es: \[ \frac{40}{81}. \]