Hallar la Suma de los Términos de una Serie Geométrica

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Suma de Términos: 1 - 2/3 + 4/9 - 8/27 + 16/81 - 32/243

Queremos calcular la siguiente suma de fracciones:

$$1 \;-\; \frac{2}{3} \;+\; \frac{4}{9} \;-\; \frac{8}{27} \;+\; \frac{16}{81} \;-\; \frac{32}{243}.$$

1. Observación de la Estructura

Cada fracción (comenzando con 1, que se interpreta como \( \tfrac{1}{1} \)) parece seguir el patrón: $$(-1)^k \,\frac{2^k}{3^k},$$ con \(k\) desde 0 hasta 5. Es decir:

  • Termino 1: \(k=0\), \(\,+\, \tfrac{2^0}{3^0} = +1.\)
  • Termino 2: \(k=1\), \(\,-\, \tfrac{2^1}{3^1} = -\tfrac{2}{3}.\)
  • Termino 3: \(k=2\), \(\,+\, \tfrac{4}{9}.\)
  • Termino 4: \(k=3\), \(\,-\, \tfrac{8}{27}.\)
  • Termino 5: \(k=4\), \(\,+\, \tfrac{16}{81}.\)
  • Termino 6: \(k=5\), \(\,-\, \tfrac{32}{243}.\)

Podemos verlos como sumandos de una serie geométrica con primer término \(a=1\) y razón \(r=-\frac{2}{3}\).

2. Interpretación como Serie Geométrica

Para una serie geométrica de \(n+1\) términos, con primer término \(a\) y razón \(r\), la suma parcial es:

$$ S_{n+1} = a \,\frac{1 - r^{\,n+1}}{1 - r}. $$

En nuestro caso, tenemos 6 términos (de \(k=0\) a \(k=5\)), es decir \(n=5\). Los valores son:

  • \(a = 1\).
  • \(r = -\frac{2}{3}\).
  • \(n+1 = 6 \implies n=5\).

Por tanto, la suma es:

$$ S = \frac{1 - \left(-\tfrac{2}{3}\right)^{6}}{\,1 - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)\,}. $$

Cálculo paso a paso

  1. Calcular \(\left(-\tfrac{2}{3}\right)^6\): $$ \left(-\tfrac{2}{3}\right)^6 = \left(\tfrac{2}{3}\right)^6 \times (-1)^6 = \tfrac{64}{729} \times 1 = \tfrac{64}{729}. $$
  2. 1 menos ese valor: $$ 1 - \tfrac{64}{729} = \tfrac{729}{729} - \tfrac{64}{729} = \tfrac{665}{729}. $$
  3. El denominador \(1 - (-\tfrac{2}{3})\) es: $$ 1 + \tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3}. $$
  4. Por tanto, $$ S = \frac{\tfrac{665}{729}}{\tfrac{5}{3}} = \tfrac{665}{729} \;\times\; \tfrac{3}{5} = \tfrac{665 \times 3}{729 \times 5}. $$
  5. Simplificando: $$ \tfrac{665 \times 3}{729 \times 5} = \tfrac{1995}{3645}. $$ Ahora, factorizando y reduciendo, se llega a: $$ \tfrac{1995}{3645} = \tfrac{133}{243} $$ (tras dividir numerador y denominador por 15).

3. Resultado Final

Entonces, la suma de los términos $$1 \;-\; \frac{2}{3} \;+\; \frac{4}{9} \;-\; \frac{8}{27} \;+\; \frac{16}{81} \;-\; \frac{32}{243}$$ es $$\displaystyle \frac{133}{243}.$$

Para confirmarlo, podemos sumar los términos paso a paso con un denominador común, o por la aproximación decimal:

  • \(\frac{133}{243} \approx 0.547\ldots\)
En efecto, la aproximación coincide al realizar la suma numérica de cada fracción.

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