Problema de Sucesiones: Encontrar la Sucesión Aritmética
Enunciado: Obtener la sucesión aritmética cuyo primer término es 4 y tal que la suma de los términos segundo y tercero es 17.
1. Definiciones y Planteamiento
Una sucesión aritmética es aquella en la cual cada término se obtiene sumando a un término fijo (la diferencia común), denotada por \( d \), a un término anterior. En notación, si el primer término es \( a_1 \) y la diferencia común es \( d \), entonces el enésimo término \( a_n \) se expresa como:
De acuerdo con el problema:
- El primer término \( a_1 \) es 4.
- Se conoce que la suma de los términos segundo y tercero es 17.
2. Hallar la diferencia común \( d \)
Denotemos la diferencia común por \( d \). Sabiendo que: $$ a_1 = 4, $$ el segundo término \( a_2 \) y el tercero \( a_3 \) se calculan según la fórmula general:
- \( a_2 = a_1 + d = 4 + d, \)
- \( a_3 = a_1 + 2d = 4 + 2d. \)
El problema establece que la suma de los términos segundo y tercero es 17, es decir:
Sustituyendo las expresiones encontradas:
Simplificamos la ecuación:
- \( 4 + d + 4 + 2d = 17 \).
- \( 8 + 3d = 17 \).
- \( 3d = 17 - 8 = 9 \).
- \( d = 9 \div 3 = 3 \).
Por lo tanto, la diferencia común \( d \) de la sucesión aritmética es 3.
3. Ecuación de la Sucesión Aritmética
Conociendo \( a_1 = 4 \) y \( d = 3 \), cada término \( a_n \) se expresa como:
O equivalentemente,
Esto describe completamente la sucesión aritmética. Por ejemplo:
- \( a_1 = 4 \),
- \( a_2 = 4 + 3 = 7 \),
- \( a_3 = 4 + 6 = 10 \),
- \( a_4 = 4 + 9 = 13, \)
- y así sucesivamente.
4. Comprobación
Para verificar que se cumple la condición dada (la suma de los términos segundo y tercero es 17):
- \( a_2 = 7, \quad a_3 = 10, \quad 7 + 10 = 17 \). ✔
Queda confirmado que la sucesión determinada satisface el problema.
5. Conclusión
La sucesión aritmética buscada tiene primer término \( a_1 = 4 \), diferencia común \( d = 3 \), y se escribe como:
Con ello, se cumple que la suma de su segundo y tercer término es 17.
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