Sistema de Ecuaciones Gauss Jordan

Sistema de Ecuaciones y Método de Gauss-Jordan

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en tres variables:

$$\begin{cases} x \;-\; y \;-\; 2z \;=\; 11, \\ 2x \;+\; 4y \;+\; 5z \;=\; -35, \\ 6x \;-\; z \;=\; -1. \end{cases}$$

1. Formar la Matriz Aumentada

Para aplicar el método de Gauss-Jordan, primero escribimos la matriz aumentada asociada al sistema:

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -2 & 11\\ 2 & \phantom{-}4 & \phantom{-}5 & -35\\ 6 & \phantom{-}0 & -1 & -1 \end{array}\right]. $$

2. Operaciones Elementales de Fila

1. Eliminar \(x\) de la Fila 2: $$ R_2 \leftarrow R_2 \;-\; 2R_1. $$

   De la fila 2: \([2\;\;4\;\;5\;\;|\;-35]\) restamos \(2 \times [1\;-\;1\;-\;2\;|\;11]\), obteniendo:

   \[ (2 - 2\cdot1,\;\; 4 - 2\cdot(-1),\;\; 5 - 2\cdot(-2),\;\; -35 - 2\cdot 11) = (0,\; 6,\; 9,\; -57). \]
   Eliminar \(x\) de la Fila 3: $$ R_3 \leftarrow R_3 \;-\; 6R_1. $$

   De la fila 3: \([6\;\;0\;-1\;|\;-1]\) restamos \(6 \times [1\;-\;1\;-\;2\;|\;11]\), obteniendo:

   \[ (6 - 6\cdot1,\;\; 0 - 6\cdot(-1),\;\; -1 - 6\cdot(-2),\;\; -1 - 6\cdot 11) = (0,\; 6,\; 11,\; -67). \]

   La matriz aumentada queda entonces:

   $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -2 & 11\\ 0 & \phantom{-}6 & \phantom{-}9 & -57\\ 0 & \phantom{-}6 & 11 & -67 \end{array}\right]. $$
2. Eliminar \(y\) de la Fila 3: $$ R_3 \leftarrow R_3 \;-\; R_2. $$

   De la fila 3: \([0\;\;6\;11\;|\;-67]\) restamos \([0\;\;6\;9\;|\;-57]\):

   \[ (0-0,\; 6-6,\; 11-9,\; -67-(-57)) = (0,\; 0,\; 2,\; -10). \]

   La matriz pasa a ser:

   $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -2 & 11\\ 0 & 6 & 9 & -57\\ 0 & 0 & 2 & -10 \end{array}\right]. $$
3. Normalizar la Fila 2 y la Fila 3 (para obtener unos):
   • \( R_2 \leftarrow \frac{1}{6} R_2 \implies [0\;\;1\;\; \tfrac{3}{2}\;|\;-\tfrac{19}{2}].\)
   • \( R_3 \leftarrow \frac{1}{2} R_3 \implies [0\;\;0\;\; 1 \;|\; -5].\)
   La matriz se convierte en:
   $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -2 & 11\\ 0 & \phantom{0}1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{19}{2}\\ 0 & \phantom{0}0 & 1 & -5 \end{array}\right]. $$
4. Eliminar el término en Fila 2 (columna de \(z\)): $$ R_2 \leftarrow R_2 - \left(\tfrac{3}{2}\right)R_3. $$
   \[ [\,0,\;1,\;\tfrac{3}{2}\;|\;-\tfrac{19}{2}\,] \;-\; \tfrac{3}{2}\times [\,0,\;0,\;1\;|\;-5\,] = \bigl(0,\;1,\;0,\;-\tfrac{19}{2} + \tfrac{15}{2}\bigr) = [\,0,\;1,\;0\;|\;-2]. \]

   La matriz queda:

   $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -2 & 11\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & -5 \end{array}\right]. $$
5. Eliminar el término \(-2\) de la Fila 1 (columna \(z\)): $$ R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3. $$

   De \([\,1\;-\;1\;-2\;|\;11]\) sumamos \(2 \times [\,0\;0\;1\;|\;-5]\):

   \[ (1,\;-1,\;-2 + 2,\; 11 + 2(-5)) = (1,\;-1,\;0,\;11 -10) = (1,\;-1,\;0,\;1). \]

   La matriz pasa a:

   $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & -5 \end{array}\right]. $$
6. Eliminar el término \(-1\) en Fila 1 (columna \(y\)): $$ R_1 \leftarrow R_1 + R_2. $$

   \([1\;-\;1\;0\;|\;1]\) más \([0\;1\;0\;|\;-2]\):

   \[ (1,\;-1+1,\;0,\;1 + (-2)) = (1,\;0,\;0,\;-1). \]

   Finalmente, la matriz aumentada en forma reducida es:

   $$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & -5 \end{array}\right]. $$

3. Interpretación de la Solución

La forma reducida nos indica directamente que: $$ x = -1,\quad y = -2,\quad z = -5. $$

4. Verificación Rápida

Comprobamos sustituyendo en cada ecuación original:

• Ecuación 1: \( x - y - 2z = (-1) - (-2) - 2(-5) = -1 + 2 + 10 = 11.\checkmark\)
• Ecuación 2: \( 2x + 4y + 5z = 2(-1) + 4(-2) + 5(-5) = -2 - 8 - 25 = -35.\checkmark\)
• Ecuación 3: \( 6x - z = 6(-1) - (-5) = -6 + 5 = -1.\checkmark\)

5. Conclusión

El sistema $$\begin{cases} x - y - 2z = 11, \\ 2x + 4y + 5z = -35, \\ 6x - z = -1 \end{cases}$$ resuelto mediante el método de Gauss-Jordan proporciona la solución $$ (x, y, z) = (-1,\, -2,\, -5). $$