Sistema de Ecuaciones 3x3 Método Matricial

Resolución Matricial: Sistema 3x3 con Solución Entera

Enunciado del Problema

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método matricial:

• \( x + y + z = 3 \)
• \( 2x + 3y + z = 8 \)
• \( x - y + 2z = 4 \)

Objetivo: Hallar \(x\), \(y\) y \(z\) usando la fórmula \(\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}\).

Planteamiento y Resolución

Paso 1: Representar el Sistema en Forma Matricial

Escribimos el sistema como \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), donde: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\[0.3em] y \\[0.3em] z \end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\[0.3em] 8 \\[0.3em] 4 \end{pmatrix}. \]

Paso 2: Calcular la Inversa \(A^{-1}\)

a) Calcular \(\det(A)\): \[ \det(A) = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[0.2em] -1 & 2 \end{pmatrix} - 1\cdot\det\!\begin{pmatrix} 2 & 1 \\[0.2em] 1 & 2 \end{pmatrix} + 1\cdot\det\!\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[0.2em] 1 & -1 \end{pmatrix}. \] Calculamos cada menor:
\( \det\!\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[0.2em] -1 & 2 \end{pmatrix} = 3\cdot2 - 1\cdot(-1) = 6+1=7. \)
\( \det\!\begin{pmatrix} 2 & 1 \\[0.2em] 1 & 2 \end{pmatrix} = 2\cdot2 - 1\cdot1 = 4-1=3. \)
\( \det\!\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[0.2em] 1 & -1 \end{pmatrix} = 2\cdot(-1) - 3\cdot1 = -2-3=-5. \)
Así, \(\det(A)= 7 - 3 - 5 = -1.\)

b) Calcular la Matriz de Cofactores:
Los cofactors son:
\( C_{11} = 7,\quad C_{12} = -3,\quad C_{13} = -5, \)
\( C_{21} = -3,\quad C_{22} = 1,\quad C_{23} = 2, \)
\( C_{31} = -2,\quad C_{32} = 1,\quad C_{33} = 1. \)
La matriz de cofactors es: \[ \begin{pmatrix} 7 & -3 & -5 \\ -3 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

c) Matriz Adjunta y Cálculo de \(A^{-1}\):
La adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactors: \[ \operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} 7 & -3 & -2 \\ -3 & 1 & 1 \\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}. \] Como \(\det(A)=-1\), se tiene: \[ A^{-1} = \frac{1}{-1}\operatorname{adj}(A) = -\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} -7 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 5 & -2 & -1 \end{pmatrix}. \]

Paso 3: Calcular \( \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} \)

Multiplicamos: \[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} -7 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 5 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\[0.3em] 8 \\[0.3em] 4 \end{pmatrix}. \] Realizando la multiplicación:
\( x = -7\cdot3 + 3\cdot8 + 2\cdot4 = -21 + 24 + 8 = 11. \)
\( y = 3\cdot3 - 1\cdot8 - 1\cdot4 = 9 - 8 - 4 = -3. \)
\( z = 5\cdot3 - 2\cdot8 - 1\cdot4 = 15 - 16 - 4 = -5. \)

Solución del Sistema: \( x = 11,\quad y = -3,\quad z = -5 \).

Resumen del Proceso

Paso	Operación / Razonamiento	Resultado
1	Escribir el sistema en forma matricial: \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)	\( A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\2&3&1\\1&-1&2 \end{pmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\8\\4\end{pmatrix} \)
2a	Calcular \(\det(A)\)	\(\det(A) = -1\)
2b	Calcular la matriz de cofactors:	\(\begin{pmatrix} 7 & -3 & -5 \\ -3 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)
2c	Obtener la matriz adjunta (traspuesta de la matriz de cofactors) y luego \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A)\)	\( A^{-1} = \begin{pmatrix} -7 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 5 & -2 & -1 \end{pmatrix} \)
3	Calcular \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\)	\( x=11,\quad y=-3,\quad z=-5 \)

Respuesta Final: \(\boxed{x = 11,\; y = -3,\; z = -5}\)