Sistema de Ecuaciones 2x2 por Método Matricial

Resolución Matricial con Cálculo Detallado de la Inversa

Enunciado del Problema

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método matricial:

• \( x + y = 5 \)
• \( 2x - y = 1 \)

Objetivo: Hallar \(x\) y \(y\) usando la fórmula \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\).

Planteamiento y Resolución

Paso 1: Escribir el Sistema en Forma Matricial

Se tiene: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[0.3em] 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\[0.2em] y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\[0.2em] 1 \end{pmatrix}. \]

Paso 2: Cálculo Detallado de \(A^{-1}\)

Sea \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) con:
\(a = 1,\; b = 1,\; c = 2,\; d = -1.\)

El determinante es: \[ \det(A) = ad - bc = (1)(-1) - (1)(2) = -1 - 2 = -3. \]

La matriz inversa se obtiene mediante: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\[0.3em] -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\[0.3em] -2 & 1 \end{pmatrix}. \]

Simplificando cada componente: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{-3} & \frac{-1}{-3} \\[0.3em] \frac{-2}{-3} & \frac{1}{-3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\[0.3em] \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}. \]

Paso 3: Obtener la Solución

Calculamos: \[ \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[0.3em] \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\[0.3em] 1 \end{pmatrix}. \]

Resumen del Proceso

Paso	Operación	Resultado
1	Plantear \(A\) y \(\mathbf{b}\)	\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[0.3em] 2 & -1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\[0.3em] 1 \end{pmatrix} \)
2	Calcular \(\det(A) = -3\) y la matriz de cofactors:	Matriz de cofactors: \( \begin{pmatrix} -1 & -1 \\[0.3em] -2 & 1 \end{pmatrix} \)
3	Dividir por \(-3\):	\( A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\[0.3em] \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \)
4	Multiplicar \(A^{-1}\) por \(\mathbf{b}\)	\( x = \tfrac{1}{3}\cdot 5 + \tfrac{1}{3}\cdot 1 = 2,\quad y = \tfrac{2}{3}\cdot 5 - \tfrac{1}{3}\cdot 1 = 3.\)

Respuesta Final:

• \( x = 2 \)
• \( y = 3 \)