Rectángulo máximo dentro de circunferencia

Máxima Área de un Rectángulo Inscrito en una Circunferencia. Cálculo Diferencial

1. Planteamiento del Problema

Se desea inscribir un rectángulo en una circunferencia de radio \( R = 5 \, \text{m} \). ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima?

2. Modelado Matemático

Sea el rectángulo simétrico respecto a los ejes, de modo que sus vértices sean \( (x,y) \), \( (-x,y) \), \( (-x,-y) \) y \( (x,-y) \).
- Restricción (ecuación de la circunferencia): \[ x^2 + y^2 = 5^2 = 25. \]
- Área del rectángulo: \[ A = (2x)(2y) = 4xy. \]

3. Aplicación del Cálculo Diferencial

Paso 1: Despejar \( y \) de la restricción: \[ y = \sqrt{25 - x^2}. \]
Paso 2: Escribir el área en función de \( x \): \[ A(x) = 4x \sqrt{25 - x^2}. \]
Paso 3: Derivar \( A(x) \) respecto a \( x \) para encontrar el valor crítico: \[ A'(x) = 4\sqrt{25-x^2} + 4x \left( \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} \right) = \frac{4(25-x^2) - 4x^2}{\sqrt{25-x^2}} = \frac{100 - 8x^2}{\sqrt{25-x^2}}. \] Igualamos \( A'(x) = 0 \): \[ 100 - 8x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{100}{8} = 12.5 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{12.5} = \frac{5\sqrt{2}}{2}. \]
Paso 4: Calcular \( y \) usando la restricción: \[ y = \sqrt{25 - \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - \frac{50}{4}} = \sqrt{25 - 12.5} = \sqrt{12.5} = \frac{5\sqrt{2}}{2}. \]

4. Interpretación y Verificación

Se observa que \( x = y = \frac{5\sqrt{2}}{2} \), lo que implica que el rectángulo de área máxima es un cuadrado inscrito en la circunferencia.

5. Resultado Final

\[ \boxed{x = y = \frac{5\sqrt{2}}{2} \, \text{m} \quad \Rightarrow \quad \text{Área máxima } A = 4xy = 4\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 50 \, \text{m}^2} \]

Conclusión: Para maximizar el área, el rectángulo inscrito en una circunferencia de radio 5 m debe ser un cuadrado con lados de longitud \( 5\sqrt{2} \, \text{m} \).