Hallar el Primer Término de una Sucesión Geométrica

Sucesión Geométrica: Determinar el Primer Término

Enunciado: Obtener el primer término de una sucesión geométrica cuyos términos tercero y cuarto son, respectivamente, 2 y 8.

1. Definiciones y Datos

En una sucesión geométrica, cada término se calcula multiplicando el anterior por una razón común \( r \). Si \( a_1 \) denota el primer término, entonces el \( n \)-ésimo término se escribe como:

$$ a_n = a_1 \, r^{\,n - 1}. $$

De acuerdo con el problema:

• El tercer término \( a_3 \) es 2.
• El cuarto término \( a_4 \) es 8.

2. Relación entre los Términos Tercero y Cuarto

Utilizando la fórmula de la sucesión geométrica:

• \( a_3 = a_1 \, r^{\,3-1} = a_1 \, r^2 = 2, \)
• \( a_4 = a_1 \, r^{\,4-1} = a_1 \, r^3 = 8. \)

Dividiendo el cuarto término entre el tercero, se obtiene:

$$ \frac{a_4}{a_3} = \frac{a_1 \, r^3}{a_1 \, r^2} = r = \frac{8}{2} = 4. $$

Por tanto, la razón común \( r \) es 4.

3. Hallar el Primer Término

Como \( a_3 = a_1 \, r^2 \) y hemos hallado \( r = 4 \):

$$ a_3 = a_1 \cdot 4^2 = 16 \, a_1 = 2. $$

Despejando \( a_1 \):

• \( 16 \, a_1 = 2 \)
• \( a_1 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}. \)

Por lo tanto, el primer término de la sucesión geométrica es $$ a_1 = \tfrac{1}{8}. $$

4. Conclusión

Dada la razón común \( r = 4 \) y el primer término \( a_1 = \frac{1}{8} \), la sucesión geométrica se describe como:

$$ a_n = \frac{1}{8} \cdot 4^{\,n-1}. $$

Verifiquemos: Para \( n=3 \) : \( a_3 = \tfrac{1}{8}\cdot4^2 = \tfrac{1}{8}\cdot16=2 \). Para \( n=4 \) : \( a_4 = \tfrac{1}{8}\cdot4^3 = \tfrac{1}{8}\cdot64=8 \). ✔