Sistema de Ecuaciones Mediante Método de Gauss-Jordan

el
Método de Gauss-Jordan

Método de Gauss-Jordan: Sistema de Ecuaciones

Enunciado del Problema

Resuelve por Gauss-Jordan el siguiente sistema de ecuaciones:

  • \( 2x + y - z = 8 \)
  • \( -3x - y + 2z = -11 \)
  • \( -2x + y + 2z = -3 \)

Objetivo: Hallar \( x,\, y,\, z \) llevando la matriz aumentada a su forma reducida.

Solución Detallada

Matriz Aumentada Inicial

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \end{array}\right] \]

  1. Normalizar la fila 1:
    Dividimos la primera fila por 2 para obtener un 1 en \((1,1)\): \[ R_1 \to \frac{1}{2}R_1: \quad (1,\; \tfrac{1}{2},\; -\tfrac{1}{2}\;|\;4). \]
  2. Eliminar \( x \) de las filas 2 y 3:
    • \( R_2 \to R_2 + 3R_1 \)
      \(-3 + 3(1) = 0,\quad -1 + 3\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr) = \tfrac{1}{2},\quad 2 + 3\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)= \tfrac{1}{2},\quad -11 + 3(4)= 1.\)
      Nueva fila 2: \((0,\; \tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{2}\;|\;1)\).
    • \( R_3 \to R_3 + 2R_1 \)
      \(-2 + 2(1) = 0,\quad 1 + 2\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)= 2,\quad 2 + 2\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)= 1,\quad -3 + 2(4)= 5.\)
      Nueva fila 3: \((0,\; 2,\; 1\;|\;5)\).
  3. Normalizar la fila 2:
    Multiplicamos la fila 2 por 2 para tener un 1 en \((2,2)\): \[ R_2 \to 2R_2: \quad (0,\; 1,\; 1\;|\;2). \]
  4. Eliminar \( y \) de filas 1 y 3:
    • \( R_1 \to R_1 - \tfrac{1}{2}R_2 \)
      \((1,\; \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2},\; -\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\;|\;4-1)\)
      Fila 1: \((1,\; 0,\; -1\;|\;3)\).
    • \( R_3 \to R_3 - 2R_2 \)
      \((0,\; 2 - 2,\; 1 - 2,\; 5 - 4)\)
      Fila 3: \((0,\; 0,\; -1\;|\;1)\).
  5. Normalizar la fila 3:
    Multiplicamos la fila 3 por -1 para obtener un 1 en \((3,3)\): \[ R_3 \to -R_3: \quad (0,\; 0,\; 1\;|\;-1). \]
  6. Eliminar \( z \) de filas 1 y 2:
    • \( R_1 \to R_1 + R_3 \)
      \((1,\; 0,\; -1+1,\; 3+(-1))\)
      Fila 1: \((1,\; 0,\; 0\;|\;2)\).
    • \( R_2 \to R_2 - R_3 \)
      \((0,\; 1,\; 1-1,\; 2-(-1))\)
      Fila 2: \((0,\; 1,\; 0\;|\;3)\).

Ahora la matriz aumentada está en forma reducida:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right] \]

Solución del Sistema: \(x = 2,\; y = 3,\; z = -1.\)

Resumen de Operaciones
Paso Operación Resultado Fila
Inicio Matriz inicial \(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8\\ -3 & -1 & 2 & -11\\ -2 & 1 & 2 & -3 \end{array}\)
1 \(R_1 \to \tfrac{1}{2}R_1\) \((1,\; \tfrac{1}{2},\; -\tfrac{1}{2}\;|\;4)\)
2 \(\begin{cases} R_2 \to R_2 + 3R_1\\ R_3 \to R_3 + 2R_1 \end{cases}\) \(R_2: (0,\; \tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{2}\;|\;1)\)
\(R_3: (0,\; 2,\; 1\;|\;5)\)
3 \(R_2 \to 2R_2\) \((0,\; 1,\; 1\;|\;2)\)
4 \(\begin{cases} R_1 \to R_1 - \tfrac{1}{2}R_2\\ R_3 \to R_3 - 2R_2 \end{cases}\) \(R_1: (1,\;0,\;-1\;|\;3)\)
\(R_3: (0,\;0,\;-1\;|\;1)\)
5 \(R_3 \to -R_3\) \((0,\;0,\;1\;|\;-1)\)
6 \(\begin{cases} R_1 \to R_1 + R_3\\ R_2 \to R_2 - R_3 \end{cases}\) \(R_1: (1,\;0,\;0\;|\;2)\)
\(R_2: (0,\;1,\;0\;|\;3)\)

Resultado: \( \boxed{x=2,\; y=3,\; z=-1} \)

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