Maximizar ganancia de una empresa

Maximización de Ganancia en una Empresa. Cálculo Diferencial

1. Planteamiento del Problema

Una empresa vende un producto cuya demanda se expresa mediante la función de precio: \[ p(x) = 100 - 0.5x, \] donde \( x \) es la cantidad de unidades producidas y vendidas (con \( x \) suficientemente pequeña para que \( p(x) > 0 \)). El costo total de producción está dado por: \[ C(x) = 20x + 100. \] ¿Cuál es la cantidad óptima de unidades \( x \) que debe producir y vender la empresa para maximizar su ganancia?

2. Modelado Matemático

- Ingreso Total: \[ I(x) = x \cdot p(x) = x(100-0.5x) = 100x - 0.5x^2. \] - Ganancia (Beneficio): \[ G(x) = I(x) - C(x) = \left(100x - 0.5x^2\right) - \left(20x + 100\right) = 80x - 0.5x^2 - 100. \]

3. Aplicación del Cálculo Diferencial

Paso 1: Derivar la función ganancia \( G(x) \) con respecto a \( x \): \[ G'(x) = \frac{d}{dx}\left(80x - 0.5x^2 - 100\right) = 80 - x. \]
Paso 2: Igualar la derivada a cero para encontrar el punto crítico: \[ 80 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 80. \]
Paso 3: Verificar que se trata de un máximo evaluando la segunda derivada: \[ G''(x) = \frac{d}{dx}(80 - x) = -1. \] Como \( G''(x) = -1 < 0 \), la función es cóncava hacia abajo, confirmando que \( x = 80 \) es un máximo.

4. Resultado Final

\[ \boxed{x = 80 \, \text{unidades}} \]

Conclusión: La empresa maximiza su ganancia produciendo y vendiendo 80 unidades, lo que optimiza la diferencia entre el ingreso total y el costo total.