Obtención de la Inversa de una Matriz 2x2

Ejercicio: Cálculo de la Inversa de una Matriz 2×2

Enunciado del Problema

Calcular la inversa de la siguiente matriz \( A \):

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \)

Planteamiento y Resolución

Recordamos que para una matriz 2×2: \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] la inversa, si existe, se expresa como: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] donde el determinante es: \[ \det A = ad - bc. \]

Paso 1: Identificar los Elementos

Para la matriz dada: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \] tenemos:
\( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = 4 \) y \( d = 7 \).

Paso 2: Calcular el Determinante

Se calcula: \[ \det A = (2)(7) - (3)(4) = 14 - 12 = 2. \] Como \(\det A \neq 0\), la matriz es invertible.

Paso 3: Aplicar la Fórmula de la Inversa

Sustituyendo en la fórmula: \[ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}. \]

Tabla Resumen de Pasos

Cálculo de la Inversa de \( A \)

Paso	Operación	Resultado
1	Identificar \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\)	\(a=2\), \(b=3\), \(c=4\), \(d=7\)
2	Calcular \(\det A = ad - bc\)	\(\det A = 14 - 12 = 2\)
3	Aplicar la fórmula: \( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)	\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \)

Respuesta Final

La matriz inversa de \( A \) es: \[ \boxed{A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}} \]