∫sen²(x)dx

Integral de \(\displaystyle \sin^2(x)\)

Enunciado

\[ I = \int \sin^2(x)\,dx. \]

Vamos a calcular paso a paso la integral de \(\sin^2(x)\) usando la identidad de ángulo doble.

Solución Detallada

Paso 1: Identificar la identidad trigonométrica

Usamos la identidad de ángulo doble para \(\sin^2(x)\):

\[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}. \]

Paso 2: Reescribir la integral

Sustituimos la identidad en la integral:

\[ I = \int \sin^2(x)\,dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2} \int \bigl(1 - \cos(2x)\bigr)\,dx. \]

Paso 3: Separar en dos integrales

Descomponemos en dos términos:

\[ I = \frac{1}{2} \int 1\,dx \;-\; \frac{1}{2} \int \cos(2x)\,dx. \]

Paso 4: Integrar cada término

- Para el primer término:

\[ \int 1\,dx = x. \]

- Para el segundo término, usemos sustitución \(u = 2x\), \(du = 2\,dx\):

\[ \int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2} \int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u) + C = \frac{1}{2}\sin(2x) + C. \]

Paso 5: Combinar resultados

Sustituyendo en la descomposición:

\[ I = \frac{1}{2}\,x \;-\; \frac{1}{2}\,\Bigl(\frac{1}{2}\sin(2x)\Bigr) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C. \]

Resultado Final

\[ \boxed{ \int \sin^2(x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C } \]