Hallar la Sucesión Geométrica dados 2º Término y Razón entre Términos

Sucesión Geométrica: Segundo Término y Razón Entre Términos

Enunciado: Obtener la sucesión geométrica cuyo segundo término es 1 y tal que $$ \frac{a_5}{a_3} = 64. $$

1. Definiciones y Planteamiento

Una sucesión geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón común \(r\). Si el primer término es \(a_1\), entonces el término \(n\)-ésimo, denotado \(a_n\), se expresa como:

$$ a_n = a_1 \, r^{\,n-1}. $$

Del problema se sabe:

• El segundo término es 1, es decir \( a_2 = 1 \).
• La razón entre el quinto y el tercer término es 64, es decir $$ \frac{a_5}{a_3} = 64. $$

2. Condición: \(a_2 = 1\)

De la fórmula general, \( a_2 = a_1 \, r^{\,2-1} = a_1 \, r \). Según el enunciado,

$$ a_1 \, r = 1. $$

Llamaremos a esto la Ecuación (1).

3. Condición: \(a_5 / a_3 = 64\)

El quinto término se escribe como: $$ a_5 = a_1 \, r^{\,5 - 1} = a_1 \, r^4, $$ mientras que el tercer término es: $$ a_3 = a_1 \, r^{\,3 - 1} = a_1 \, r^2. $$ Por la condición dada,

$$ \frac{a_5}{a_3} = \frac{a_1 \, r^4}{a_1 \, r^2} = r^2 = 64. $$

Por tanto, $$ r^2 = 64 \quad \Longrightarrow \quad r = \pm 8. $$

4. Determinar \(a_1\) para cada caso

De la Ecuación (1), \( a_1 \, r = 1 \). Se sustituyen los valores de \(r\):

• Si \(r = 8\), entonces \(a_1 \times 8 = 1 \implies a_1 = \tfrac{1}{8}.\)
• Si \(r = -8\), entonces \(a_1 \times (-8) = 1 \implies a_1 = -\tfrac{1}{8}.\)

Por lo tanto, hay dos posibles sucesiones geométricas que cumplen con las condiciones:

1. Sucesión 1 (con \(r = 8\)):
   $$ a_1 = \frac{1}{8}, \quad r = 8. $$ En general, $$ a_n = \frac{1}{8}\, \bigl(8\bigr)^{\,n-1} = 8^{\,n-2}. $$ Con ello, el segundo término \(\bigl(n=2\bigr)\) es \(8^{0} = 1\), y la razón entre quinto y tercer término es \(8^3 / 8^1 = 64.\)
2. Sucesión 2 (con \(r = -8\)):
   $$ a_1 = -\frac{1}{8}, \quad r = -8. $$ En general, $$ a_n = -\frac{1}{8}\, \bigl(-8\bigr)^{\,n-1}. $$ De nuevo, el segundo término \(a_2\) es \(-\tfrac{1}{8} \times (-8) = 1\), y $$ \frac{a_5}{a_3} = \frac{\,-\tfrac{1}{8}\times(-8)^{4}}{\,-\tfrac{1}{8}\times(-8)^{2}} = \frac{(-8)^4}{(-8)^2} = \frac{\,8^4}{\,8^2} = 8^2 = 64. $$

5. Conclusión

Existen dos sucesiones geométricas que satisfacen las condiciones:

• Primera sucesión (razón positiva): $$ a_1 = \frac{1}{8}, \quad r = 8 \quad\Longrightarrow\quad a_n = 8^{\,n-2}. $$
• Segunda sucesión (razón negativa): $$ a_1 = -\frac{1}{8}, \quad r = -8 \quad\Longrightarrow\quad a_n = -\frac{1}{8} \,(-8)^{\,n-1}. $$

En ambos casos, el segundo término es 1 y se cumple que \( \tfrac{a_5}{a_3} = 64.\)