Hallar la Longitud de una Elipse. 2 Métodos

Longitud de una Elipse

La longitud exacta de una elipse con la ecuación $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, $$ donde \(a\) es el semieje mayor y \(b\) el semieje menor, se expresa en términos de una integral elíptica completa de segundo tipo:

$$ L = 4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - e^2 \sin^2\theta} \; d\theta, $$

donde la excentricidad \(e\) se define como: $$ e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}. $$

Método Exacto

Para ilustrar el método, consideremos la elipse con:

• \(a=5\)
• \(b=3\)

Calculamos la excentricidad: $$ e = \sqrt{1 - \frac{3^2}{5^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}. $$

La longitud exacta de la elipse es: $$ L = 20 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \frac{16}{25}\sin^2\theta} \; d\theta, $$ la cual se puede evaluar numéricamente o expresarse en términos de la función elíptica completa de segundo tipo, \(E\left(\frac{4}{5}\right)\), de modo que: $$ L = 20\,E\left(\frac{4}{5}\right). $$

Aproximación de Ramanujan

Debido a la complejidad de evaluar la integral elíptica, el matemático Srinivasa Ramanujan propuso una fórmula de aproximación muy precisa para la longitud de la elipse:

$$ L \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]. $$

Origen y Ventajas

Ramanujan desarrolló esta fórmula basándose en el análisis de series y promediado de términos de la expansión de la integral. Sus ventajas son:

• Simplicidad: Utiliza operaciones aritméticas básicas.
• Precisión: Ofrece un error muy pequeño para una amplia gama de valores de \(a\) y \(b\).
• Aplicabilidad: Es especialmente útil en problemas de ingeniería y aplicaciones prácticas donde se requiere rapidez en el cálculo.

Ejemplo Detallado con \(a=5\) y \(b=3\)

1. Calcular \(a+b\): $$a+b = 5+3 = 8.$$
2. Calcular \(3a+b\) y \(a+3b\):
   $$3a+b = 3\cdot5+3 = 15+3 = 18,$$
   $$a+3b = 5+3\cdot3 = 5+9 = 14.$$
3. Evaluar la raíz:
   $$\sqrt{(3a+b)(a+3b)} = \sqrt{18\cdot14} = \sqrt{252} \approx 15.87.$$
4. Aplicar la fórmula de Ramanujan:
   $$L \approx \pi\left[3\cdot8 - 15.87\right] = \pi\left[24 - 15.87\right] = \pi\cdot8.13 \approx 25.55.$$

Resumen

• Método Exacto: La longitud de la elipse es $$L = 20 \, E\left(\frac{4}{5}\right),$$ lo que requiere el cálculo de una integral elíptica completa.
• Aproximación de Ramanujan: Una forma sencilla y precisa de calcular la longitud es: $$L \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right].$$
• Para \(a=5\) y \(b=3\), la longitud aproximada es: $$L \approx 25.55 \text{ unidades}.$$

Esta integración de métodos muestra tanto el enfoque exacto como la utilidad de la aproximación de Ramanujan para calcular la longitud de una elipse, facilitando la comprensión y aplicación de estos conceptos en diversas áreas.