El problema de la escalera

Problema de la Escalera. Cálculo Diferencial (Derivadas Relacionadas)

1. Planteamiento del Problema

Una escalera de 10 metros de longitud se apoya contra una pared vertical. Si la base de la escalera se aleja de la pared a razón de \( 1 \, \text{m/s} \), ¿a qué velocidad se desliza la parte superior de la escalera cuando la base está a 6 metros de la pared?

2. Modelado Matemático

Sea \( x(t) \) la distancia de la base de la escalera a la pared y \( y(t) \) la altura del punto de apoyo sobre la pared. Por el teorema de Pitágoras se tiene: \[ x^2 + y^2 = 10^2 = 100. \] Se conoce que: \[ \frac{dx}{dt} = 1 \, \text{m/s}. \]

3. Aplicación del Cálculo Diferencial

Paso 1: Diferenciar la relación \( x^2 + y^2 = 100 \) respecto al tiempo \( t \): \[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0. \] Paso 2: Despejar \( \frac{dy}{dt} \): \[ \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}. \] Paso 3: Evaluar en el instante en que \( x = 6 \, \text{m} \). Primero se determina \( y \): \[ y = \sqrt{100 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \, \text{m}. \] Luego, sustituyendo los valores: \[ \frac{dy}{dt} = -\frac{6}{8}(1) = -\frac{3}{4} \, \text{m/s}. \]

4. Interpretación del Resultado

El signo negativo en \( \frac{dy}{dt} \) indica que la parte superior de la escalera desciende. Por lo tanto, cuando la base se encuentra a 6 metros de la pared, la parte superior se desliza hacia abajo a una velocidad de \( \frac{3}{4} \, \text{m/s} \).

5. Resultado Final

\[ \boxed{\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4} \, \text{m/s}} \]

Conclusión: Cuando la base de la escalera se aleja a 1 m/s y está a 6 m de la pared, la parte superior baja a una velocidad de \( \frac{3}{4} \, \text{m/s} \).